martedì 28 aprile 2015

Due a settimana..._12, le soluzioni

Soluzioni

Due a settimana..._12  !

Subito subito,

Quesito 1, la zona colorata ...

Per la classe seconda risolvono: Gian Franco, Alessia, Elisa, Antonella, Miriam.

Alessia, sua la figura sotto, così spiega (riporto anche i colori-carattere da lei utilizzati su geogebra):

image

Per prima cosa calcolo quanti triangoli “colorati” ci sono nella prima riga in basso (5) poi moltiplico per quante volte si ripete la stessa riga [altezza del rettangolo viola (4)]. 5*4=20 cm²

Poi immagino che, nella parte superiore, un parallelogramma, formato da 4 triangolini,  sia “tagliato” in 2 parti congruenti dalla diagonale.
Quindi l'area del parallelogramma viene divisa in due:
4/2 = 2 cm² = area della metà del parallelogramma.

Infine aggiungo 0,5 cm², che è l'area del piccolo triangolo blu, alla metà del parallelogramma.

Totale:
20 cm²+ 2,5 cm² = 22,5 cm²= area della parte colorata

Gian Franco, Miriam, Antonella e Elisa, ma quest’ultima solo parzialmente, riportano più o meno la stessa spiegazione. Quella che segue è di Gian Franco:

Dopo aver fatto la somma dei triangoli interi e le metà che si trovavano ai lati ho ottenuto una somma di 20,5 cm². Mi rimanevano ora 4 pezzi di triangoli che, ho notato, andavano bene a coppie per riempire due triangoli. Ma siccome non ero sicuro per poterlo dimostrare, ho preso in considerazione il parallelogramma formato da quattro triangoli interi. Poiché la diagonale del parallelogramma lo divide in due parti congruenti, ho potuto confermare che la parte colorata corrispondeva alla metà del parallelogramma cioè due triangoli.
Area totale = 22,5 cm².

Gian Franco in verità, da me invitato ad una soluzione alternativa, sollecitato ad osservare bene le dimensioni del triangolo rettangolo individuato sopra la porzione rettangolare, riesce a “vedere” che: la base del triangolo rettangolo è uguale a 2,5 volte quella del triangolino e la sua altezza è la stessa altezza del triangolino, maa: non riesce a concludere che:

se un triangolo ha la base 2,5 volte quella di un altro triangolo e la stessa altezza, allora la sua area è 2,5 volte maggiore.

Essendo dunque l’area del triangolino di 1 cm², quella del triangolo rettangolo è di 2,5 cm²

... Eppure qualcosa avevamo già visto sulla variazione delle aree al variare di una dimensione. Sì, non abbiamo ancora troppo insistito, ma ho l’impressione che a impedire la conclusione da parte di Gian Franco sia stato quel ...decimale! 2,5 acci! Se la base fosse stata semplicemente “doppia”, probabilmente sarebbe scappato un: “allora l’area è doppia”. Chissà ...

Per la classe terza “partecipano”: Bachisio, Gabriele G., Pietro S., Marco.

Bachisio realizza la costruzione su geogebra, anche in maniera rapida: ha usato una macro, bravo! Sorriso

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E spiega:

-All’interno dell’area colorata ci sono 16 triangoli equilateri interi, quindi abbiamo già 16 cm² .

-I pezzi di triangolo ai lati della figura equivalgono alla metà di un triangolo, perché se guardiamo con attenzione, ci accorgiamo che ci sono dei rombi tagliati in 4 parti (1/4 di rombo= ½ di triangolo). Da tutti questi mezzi triangoli ottengo 4,5 cm².

-Gli ultimi 4 pezzi di triangolo equivalgono a due triangoli, basta guardare il parallelogramma tagliato a metà dalla sua diagonale (siccome la metà di 4 è 2…). Quindi otteniamo altri 2 cm².

QUINDI: 16 cm² + 4,5 cm² + 2 cm² = 22,5 cm² = A_colorata.

(Ho invitato anche Bachisio, con più strumenti dei compagni di seconda, alla soluzione alternativa, ma: nulla di fatto).

Gabriele dice (a tratti molto didascalico):

 Mi sono accorto che l’area della parte rettangolare è di 20 cm², essendo formata da 8 mezzi triangolini (di area 0,5 cm²) e 16 triangolini interi (di area 1 cm²).

Per completare la parte colorata rimaneva un triangolo rettangolo, che se “ricomposto” è formato da 2 triangolini e mezzo.

Quindi facendo due calcoli viene 1 cm² * 2 triangolini + 0,5 cm² *1 mezzo triangolino = 2 + 0,5 = 2,5 cm², che sommati all’area del rettangolo viene 20 cm² + 2,5 cm² = 22,5 cm² .

E invia la figura seguente:

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Spiega così la sua ricomposizione. Senza parole, nient’affatto didascalico stavolta, ad occhio, insomma. E io, nient’affatto soddisfatta!

Pietro S. e Marco invece, variano soluzione (bene!):

L'area della zona colorata è 22,5 cm²: per saperlo ho diviso la figura in due poligoni, un rettangolo e un triangolo rettangolo. Ho controllato quanti triangoli ci sono in ogni riga del rettangolo e sono 5 perché 4 interi e 2 metà, ci sono 4 righe e quindi 5*4=20 cm². Per trovare l'area del triangolo rettangolo ho diviso una riga (del rettangolo) in due perché esso ha stessa base e stessa altezza di una riga del rettangolo.

Quesito 2, i dadi...

Solutori seconda: Gian Franco, Alessia e Antonella. Eh... Miriam e Elisa hanno lavorato meno, stavolta!

I tre spiegano tutti allo stesso modo, copio la soluzione-Gian Franco, completa seppure a tratti un po’ contorta!

Le somme sono: 5 (a destra) e 9 (a sinistra).

Sono partito dal dado più a destra, perché era il più completo: i punti della faccia nascosta sono 3. Poi sono passato al dado centrale, ma ai lati ci poteva essere o il 2 o il 5. Quindi dopo averlo osservato per bene ho immaginato di ruotarlo in modo da fargli assumere la stessa posizione del dado a destra. L'ho “ruotato” prima a sinistra e poi verso l'alto per ottenere le stesse facce davanti e dietro e infine ho messo i numeri uguali a quelli dell'altro dado cioè il 2 sopra e il 5 sotto. Poi l'ho riportato nella posizione di prima e avevo il 2 a destra e il 5 a sinistra.

Sono passato al dado di sinistra e ho notato che era nella stessa posizione di quello di destra quindi non mi restava che mettere i numeri nascosti nelle stesse posizioni ottenendo al lato destro il 4. Il dado centrale combacia con questa faccia con i 5 punti.

Infine ho preso una scatolina e ci ho scritto i numeri nelle stesse posizioni di quelle del dado di destra, poi l'ho ruotato nella posizione di quello centrale cioè il 3 davanti, il 6 sopra, l' 1 sotto e il 4 dietro e ho notato che le posizioni del 2 e del 5 corrispondevano a quelle che io avevo già immaginato all'inizio.

Solutori terza: Bachisio, Pietro S. e Marco. Pietro P., sbrigativo, mi scrive i punti che stanno sulle facce che combaciano, verosimilmente fatica troppo ad eseguirne la somma! Gabriele G. NON risolve correttamente.

Le risposte in sintesi:

-La faccia interna del dado a destra è di 3 perché 7-4 (la faccia opposta) = 3 [*I punti che stanno...* così anche per ciò che segue]

- Le due facce interne del dado centrale sono 2 e 5, perché 3 e 6 sono visibili, l’1  si trova sotto (6+1=7) e il 4 che si trova dietro(3+4=7).

-La faccia interna del cubo a sinistra è 4 perché il dado si trova nella stessa posizione di quello a destra.

- Quindi la somma dei punti delle facce che combaciano è: 3+2+5+4=14.

Ho concluso. Anzi, conclusione con rima:

Solite lodi a chi ha lavorato,
che come sempre ha guadagnato!

Ecco, rideteci su...  Ma mica troppo, eh.

Prox appuntamento: sarà il nuovo Sarà mica... del prof Davide. Sì, no? Noi teniamoci pronti!

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venerdì 10 aprile 2015

Due a settimana..._12

Pronti con i nuovi quesiti!

Direi facili, spero siate d’accordo.

Quesito 1, geometrico

L’area di ognuno dei piccoli triangoli equilateri della figura è $1 cm^2$. Qual è l’area, in $cm^2$, della parte colorata?

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Quesito 2, sembra geometrico ma è aritmetico

In figura vedete 3 dadi identici accostati. Dovete calcolare la somma dei punti che stanno sulle facce che combaciano con qualche altra faccia. Ricordate che la somma dei punti sulle facce opposte di un dado è sempre 7.

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Le risposte, sempre bene ricordarlo, vanno argomentate!

Buone soluzioni a tutti.

Scadenza: chi consegna su foglietti ha tempo fino a venerdì 24 aprile 2015, perché poi viene il 25 aprile, Anniversario della Liberazione, ed è vacanza. Coloro che inviano le soluzioni via e mail possono farlo anche il 25.

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venerdì 3 aprile 2015

Sarà mica matematica 34, le nostre soluzioni

Ecco le nostre soluzioni del

Sarà mica matematica 34 del prof Davide.

Quesito 1, somma di numeri consecutivi

Come accennato nel post di presentazione dei quesiti, mi aspettavo cose ...

Poiché in classe, in entrambe le classi, è già capitato di generalizzare per esprimere numeri consecutivi, precedenti, quadrati, ecc... Purtroppo non sempre si riesce a utilizzare informazioni. Forse perché si chiedeva di sommare e allora... si è resa necessaria qualche tiratina d’orecchie, diciamo così.

Hanno risposto per la classe seconda: Antonella, Alessia, Gian Franco, Miriam, Elisa.

Quasi tutti hanno provato in un primo momento a sommare tre numeri consecutivi a piacere e notato che la somma è sempre divisibile per 3. Anzi qualcuno dice che il risultato è sempre uguale al numero centrale moltiplicato x 3.

Certo, certo, è così. Poi lo dimostreremo con la formula trovata da voi  ... dopo la sollecitazione a considerare con attenzione i numeri consecutivi e esprimerli generalizzando!

Infatti, sintetizzando le varie risposte, siete arrivati a dire:

ho preso diversi casi di tre numeri consecutivi (un consecutivo di un numero si ottiene aggiungendo 1 al numero stesso. Detto in modo generico i numeri sarebbero n, n+1, n+2, n+3...ecc...) ad esempio: 10 11 12; 34 35 36; 41 42 43.

Allora provo a generalizzare, cioè sostituisco il primo addendo con la lettera "n", quindi ho:

n+(n+1)+(n+2)

è la formula generale per sommare tre numeri consecutivi. Ma poi, guardandola meglio in faccia [Sorriso] ho fatto un aggiustamento che la rendeva più fluida e semplice:

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Dopo ho fatto la prova per sicurezza con un numero qualsiasi e funzionava!

La formula funziona anche se c'è lo zero perché se si ipotizza che lo zero sia n è come fare 0+1+2 oppure 3*0+3: ottengo sempre 3.

Per trovare la formula del calcolo di 4 numeri consecutivi ragiono come per la precedente ma la formula risulta così:

n+(n+1)+(n+2)+(n+3)= 4n+6

perché prima sommo le "n" (n+n+n+n=4n) poi sommo i numeri specifici (1+2+3=6).

Queste due formule sono valide se è presente lo zero tra gli addendi e anche se gli addendi sono numeri negativi.

Ahah, ma mica dimostrate che siano valide per i numeri negativi. Sì, qualcuno somma, e anche correttamente, dei numeri negativi consecutivi:

(-5)+(-4)+(-3) = –12;       (-6)+(-5)+(-4)+(-3) = –18

ma non dimostra come le formule siano valide. Ma, va bene su, siete in seconda!

Ora invece dimostriamo perché la somma di tre numeri consecutivi sia un multiplo di 3. Osservate la formula trovata:

3n+3

Non è il triplo di un numero a cui si aggiunge ancora 3? Perciò non può che essere un multiplo di 3.

E poi, perché tale somma è sempre uguale al numero centrale moltiplicato x 3 ?

3n+3 possiamo anche scriverlo così:

3 *(n+1)

Sarebbe come sfruttare la proprietà distributiva al contrario, no? Se dobbiamo eseguire 3*(n+1), applicando la distributiva otteniamo: 3n +3. Ok?

Ma nella sequenza di tre consecutivi qualsiasi, (n-1) non è il numero centrale? Ecco: 3*(n+1) è il numero centrale moltiplicato per 3!

Passiamo ai solutori, sempre in numero inferiore, della classe terza. Ebbene sì, l’assenza di voglia di fare è sempre più dichiarata. Ok, va bene tutto, costringere non è piacevole né utile e poi si può fino a un certo punto. Seppure con l’intervento dei genitori. Ma se non nasce qualcosa dentro, se non si prova una qualche spinta, se non si prova alcun piacere a mettersi in gioco, se, se ... lavorare solo per costrizione non porta a nessuna crescita. Fate voi!

Il quesito è risolto da: Manuel, Pietro P. e Gabriele G.

Loro ovviamente, basta un minimo di volontà, se la cavano meglio con l’astrazione e con il calcolo con i relativi.

Manuel scrive:

La formula per rappresentare la somma di tre numeri consecutivi è:

n+n+1+n+2=3n+3.

Ho indicato con n un numero naturale qualsiasi e di conseguenza ho indicato con n+1 il consecutivo e con n+2 il secondo numero consecutivo.

Se i numeri sono negativi questa formula vale lo stesso per esempio:
-4-3-2=-9; applicando la formula: -4*3 +3=-12+3= -9

Questa formula vale anche per lo 0, per esempio:
0+1+2=3;  3*0+3=0+3=3.

La formula per rappresentare 4 numeri consecutivi è:

n+n+1+n+2+n+3= 4n+6.

Gabriele scrive:

dopo aver fatto alcuni tentativi ho capito che la somma di tre numeri consecutivi qualsiasi è sempre divisibile per tre, perché è come moltiplicare lo stesso numero per 3 e aggiungere 3, come riportato nell’esempio:

  2 + 3 + 4 =
=2 +(2+1)+(2+2)=
=2+2+2+1+2=
=2*3+3

Che generalizzata sarebbe
  a +(a+1)+(a+2) =
=a + a + a + 1 + 2=
=3a+3

E basta.

Pietro:

la formula è: a+(a+1)+(a+2)=3a+3
a è un numero qualsiasi, a+1 è il successivo, a+2 il successivo di a+1.

Per i numeri negativi: se a=-2,  a+1=-1 e a+2=0
la somma sarà: (-2)+(-1)+0=-3
applichiamo la formula:  -2*3+3=-6+3=-3

Per sommare quattro numeri consecutivi: a+(a+1)+(a+2)+(a+3)=4a+6

Quesito 2, somma di numeri ai vertici di un cubo...

Risolvono per la seconda: Antonella, Alessia, Gian Franco, Miriam, Elisa, Erika e Mattia.

La soluzione è la seguente:

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Altre soluzioni, disponendo i numeri in vertici diversi, sono equivalenti.

Copio la spiegazione di Gian Franco che è la più completa.

Prima di tutto mi sono scritto i numeri da 0 a 7 che a mano a mano ho segnato, e i numeri primi che potevo ottenere sommando i numeri dati. Ho pensato di iniziare posizionando lo 0 in un casella qualunque. A questo ho collegato tutti i numeri dispari tranne l'1 perché 0+1=1 non è un numero primo. Tra il 5 e il 3 c'era un vertice vuoto quindi lì ho posizionato il 2 che non potevo collegare al sette.
Poi ho guardato i numeri che mi erano rimasti, ho preso l'1 e l'ho posizionato sopra il 2,
- la soluzione di Gian Franco è questa:

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il 4 l'ho posizionato sopra il 3 e il 6 l'ho posizionato sopra il 5. Questi ultimi passaggi li ho fatti naturalmente in modo tale
da formare numeri primi.

Ho così ottenuto più numeri primi uguali, questo era scontato perché il numero primo più alto che si può ottenere è il 13, cioè la somma dei numeri più grandi a disposizione (6+7), poi da 0 a 13 ci sono 6 numeri primi e gli spigoli del cubo sono 12, quindi era impossibile che ci fosse un numero primo per ogni spigolo.

Per la terza risolvono... niente di meno che: Pietro P. e Bachisio in maniera esatta. Pietro al secondo tentativo perché, come Manuel e Gabriele G., che invece non si sono presi la briga di un secondo tentativo, direi che aveva letto le indicazioni a dir poco sbrigativamente!

Le spiegazioni di Pietro e Bachisio... ah, il loro italiano è piuttosto faticoso da leggere. Rinuncio! Sorriso

Bene, mi pare di aver concluso. Bravo a coloro che si sono impegnati, buon per loro!

Grazie come sempre al prof Davide.

I prossimi giochi, finite le vacanze pasquali.

Buona Pasqua a tutti!

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