Due a settimana..._11, le soluzioni

Pubblico le soluzioni del

Due a settimana..._11

Il quesito 1, la struttura a gradini...

ha creato inizialmente qualche perplessità tanto da rendersi necessario il fatidico aiutino. Più che altro l’aiuto è stato sfruttato in seconda, chi in terza aveva incontrato iniziali problemi ha preferito non cogliere (coloro che hanno dato la risposta, avevano intuito da soli il ragionamento corretto). Forse stavolta è venuta a mancare la giusta concentrazione, stage in Inghilterra in vista... Forse! Oppure stavolta si è solo aggiunta della deconcentrazione?

In ogni modo...

Ho dovuto invitare all’osservazione della struttura dall’alto in basso, tenendo conto dei numeri. Ho detto anche che si poteva osservare bene la forma di quella struttura e...

Sì, piano piano sono tornati alla memoria storielle e numeri triangolari! [Segnalo un post-relazione dei ragazzi di qualche anno fa:

Attività sui numeri triangolari e somma consecutivi

Raga, leggete, scrivevano più di voi! ]

Andiamo per ordine. Per la classe seconda hanno risolto: Alessia, Gian Franco, Miriam, Antonella, Giuseppe P., Elisa.

Alessia scrive:

ho sommato i quadrati della struttura a 4 scalini ottenendo 10 quadrati, facendo questa operazione mi sono ricordata (grazie alle dritte della professoressa) le coppie di 5 per arrivare al totale dei quadrati: 4+1, 2+3. [in verità Alessia alla prof, in privato, ci mettiamo anche fuori della porta dell’aula in qualche caso , continuava a rispondere solo: il totale è 10. – Ok, quindi nella struttura a 20 gradini? E mi risponde come dice sotto ... disorientandomi!]

Per quella a 20 scalini ho fatto 1+19, 2+18 ecc... e facendo questo ho ottenuto 10 coppie da 20 + una da 10 e mi sono anche ricordata la "storiella di Gauss". Poi sono arrivata alla formula generale per scoprire quanti quadrati ci sono nelle figure a scalini. Sempre grazie alle dritte, ho considerato tanti esempi, sommando numeri da 1 a un numero pari per facilitarmi:

da 1 a 4 ci sono 10 quadratini: 2 coppie da 5, 2x5
da 1 a 6 ci sono 21 quadratini: 3 coppie da 7, 3x7
da 1 a 8 ci sono 4 coppie da 9, 4x9, 36 quadratini
da 1 a 10 ci sono 5 coppie da 11, 5x11, 55 quadratini

Si forma sempre un numero di coppie che è la metà del numero da 1 a ... n [la metà di n], e la somma di ogni coppia è il numero n +1. Ecco la formula generale:

da 1 a n ci sono (n/2) * (n+1) quadratini.

Quindi da 1 a 20 ci sono (20/2) * (20+1) = 10*21= 210 quadratini

Area= 0,9 cmq * 210 = 189 cmq

Gian Franco invece ha sfruttato il secondo aiuto, la forma... :

Dopo aver osservato la forma della figura come ci aveva consigliato la prof, ho notato che la figura sembrava un triangolo. Poi siccome in ogni scalino c'erano i numeri in successione ho pensato di sommarli e ottenevo i numeri triangolari, cioè la somma dei numeri naturali in successione. Li ho sommati fino a 20 e quindi ho ottenuto il numero di tutti i quadrati. Poi la mia curiosità è stata attratta da quel: "trovare una formula generale". Allora ho cominciato a sfogliare tra i vecchi appunti dei numeri triangolari e  a consultare un po' su internet e ho trovato la formula:     

n (n+1)/2

e allora per i 20 gradini: 20 (20+1)/2 = 10 x 21 =210 quadratini in tutto.

Si fa n (n+1) perché avvicinando a un triangolo un triangolo uguale, si ottiene un rettangolo di lati n e n+1 e poi si fa diviso due per trovare i quadrati del triangolo, come fare bxh/2:

es.

Infine ho fatto 9 cmq/10 per trovare la misura dell’area di ogni quadrato che ho moltiplicato per 210 per trovare l’area della struttura a 20 scalini ottenendo 189 cmq.

Miriam, Antonella, Elisa e Giuseppe sommano tutti i numeri naturali in successione dall'1 al 20 (1+2+3+4+5+.....+20=) ottenendo 210. Ecc...  Antonella in verità considera anche i numeri triangolari descrivendo la costruzione di un rettangolo e considerando la metà. Ma avrebbe fatto prima a costruirlo!

Per la classe terza risolvono: Bachisio, Pierluigi, Pietro P., Manuel e Gabriele G.

Bachisio afferma che la scala gli ricorda i numeri triangolari e la somma di Gauss, schemi e disegni di triangoli sono riportati su foglietto... No, deve sprecarsi un po’ ad usare il digitale! Arriva anche alla formula generale (che forse ha controllato da qualche parte ma, bene uguale!).

Pierluigi descrive (in maniera non troppo lineare) la costruzione di un rettangolo sul triangolo e quindi divide per 2, ecc.

Pietro e Manuel sommano i numeri naturali da 1 a 20.

Gabriele, eh Gabriele costruisce proprio la struttura a 20 gradini, anche se, per sommare più agevolmente i quadrati che la compongono, ricorre alla sua scomposizione in forme triangolari e quadrate.

Quesito 2

La soluzione è duplice. I voti ottenuti dai cinque candidati potevano essere nell’ordine: 12 - 8 - 7 - 5 – 4. Oppure 12 - 9 - 6 -5- 4. La soluzione richiesta, il secondo posto, poteva essere dunque 8 oppure 9.

Per la seconda, danno entrambe le risposte: Alessia, Miriam, Gian Franco. Una risposta, Antonella e Giuseppe.

Più o meno tutti hanno:

sottratto da 36 voti i 12 e i 4 cioè 36-16=20. Poi hanno cercato di trovare tre numeri minori di 12 e maggiori di 4 tutti diversi e hanno trovato due soluzioni che sono: 5,7,8 e 5,6,9. Quindi le possibilità del punteggio del secondo classificato sono 2: 9 e 8.

Per la terza, risolvono con due soluzioni: Bachisio, Manuel, Pietro P., Gabriele G. Una soluzione è data da Pierluigi e Marco. 

Mi pare di essere giunta alla fine!  Segnalate se ho scordato qualcosa o qualcuno.

Solite lodi a chi ha lavorato, bravi! E ora vado a leggere le risposte dei ragazzi del prof Davide, che ha pubblicato ma non ho ancora letto.

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