domenica 24 marzo 2013

Due a settimana_1, le soluzioni

Pubblico le soluzioni

del Due a settimana_1

Quesito 1

Devo dire che il quesito ha presentato qualche difficoltà sia nella classe prima sia nella terza.

Per la prima diversi ragazzi hanno tentato ma solo Pierluigi e Gabriele G. danno una sufficiente spiegazione:

il numero di CD deve essere divisibile per il numero di ragazze, le ragazze devono essere per forza almeno 4 perché quando tre ragazze se ne vanno ci deve essere qualcuno a cui dare i loro CD. Quindi il numero di CD deve essere multiplo di 4. Ma se ogni ragazza ha un certo numero di CD, il numero totale deve essere divisibile anche per quel “certo numero” +1 e quel numero +2 perché il problema dice... [le condizioni poste].

Facendo diversi tentativi [Pierluigi ha costruito sul quaderno una tabella. Che però io non ho! Ci si era ripromessi la fotocopia, la cosa è poi sfuggita] siamo arrivati alla conclusione che le ragazze erano 6 e il numero di CD 12. Infatti:

12 : 6 = 2 (6 ragazze, 2 cd ciascuna)
12 : 4 = 3 (2 ragazze in meno, 1 cd in più)
12 : 3 = 4 (3 ragazze in meno, 2 cd in più)

Per la classe terza: anche qui diversi rispondono ma inviano le motivazioni solo Igor, Davide D. e Davì.

Copio incollo la risposta di Davì che mi da l’occasione per chiarire qualcosa sui multipli...

Le ragazze devono essere almeno 4. Se x è il numero di CD che riceve ogni ragazza, il numero totale dei CD deve essere un numero divisibile per x, per x+1, per x+2. Deve essere quindi un multiplo di 6. Però i CD non possono essere 6 perché 6 non è multiplo di 4. Se invece i CD sono 12 e le ragazze sono 6 le condizioni risultano [soddisfatte].

Davì non spiega perché se un numero è divisibile per x, per x+1 e per x+2, allora è un multiplo di 6. Per i ragazzi della prima infatti, è stato difficile giungere a questa conclusione.

Dunque:

x, x+1 e x+2 sono tre numeri consecutivi (si aggiunge 1 al primo, poi si aggiunge 2, sempre al primo numero, quindi tre consecutivi)

Di tre numeri consecutivi almeno uno di essi è pari, quindi divisibile per 2, e uno è multiplo di 3 (i multipli di 2 si ripetono ogni due numeri, i multipli di 3 si ripetono ogni tre numeri).

Perciò un numero divisibile per tre numeri consecutivi è divisibile per 2 e per 3, quindi per 6.

Sono certa che proverete con tre consecutivi qualsiasi! Sorriso

Quesito 2

Qui le cose sono andate un po’ meglio. Rispondono per la prima: Bachisio, Marco, Pietro S., Gabriele G., Pierluigi, Manuel e Gianmario.

Per la terza: Davì, Igor, Marco D., Beatrice, Davide D. Altri??

Ammettendo di aver sfruttato il suggerimento, tutti scompongono la figura

image

in questo modo:

image

ottenendo quindi altri 4 quadrati equivalenti al quadrato verde al centro. Dividono perciò per 5 l’area del quadrato grande: (15 cm)²/5=45 cm²

Spiegano di aver ruotato i triangoli di 180° attorno ai punti medi dei lati del quadrato grande. Quasi tutti. Perché Gabriele (I) realizza un bel geogebra, dove fa ruotare di 270° i triangoli, scegliendo un diverso centro di rotazione. Clic per vedere l’applet:

image

Ok, anche stavolta, un bravo a tutti coloro che hanno lavorato, ovviamente compreso chi non è riuscito a dare le complete spiegazioni.

Ah, scordavo!

Avevo chiesto di scoprire la scomposizione della prof. Nessuno però le ha dato retta! Sorriso Eccola:

image

Eh sì, più complicata la prof. ...

Prox appuntamento dal prof Davide, mi raccomando!

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domenica 17 marzo 2013

Due a settimana_1

Senza porre troppo tempo in mezzo

tra l’ultimo “Sarà mica...”,

per dare a tutti il tempo necessario per le soluzioni,

e il nuovo nostro “Due (quesiti) a settimana”, pubblico.

Quesito n° 1. Numerico

Alcune ragazze si sono spartite una certa quantità di CD, vinti in un torneo, in modo che tutte ne avessero lo stesso numero.
Se le ragazze fossero state due in meno, ciascuna di esse avrebbe ricevuto un CD in più.
Se poi fossero state tre in meno, ciascuna avrebbe ricevuto due CD in più.

Quante sono le ragazze?

Quesito n° 2. Geometrico

Nel quadrato ABCD in figura, di lato pari a 15 cm, ciascun vertice è unito al punto medio di un lato opposto.

Quanto misura l’area del quadrato verde al centro?

image

Ooh, ci penso ora: abbiamo un po’ la fissa dei quadrati? Mah! E’ solo un caso, va’...

Ragazzi, un aiuto subito: non occorre impelagarsi in calcoli complessi, applicazione di teoremi... e cose del genere. Niente numeri irrazionali! La strada è un’altra, ehmm ... manipolazione della figura?? Sorriso

Buone soluzioni a tutti!

Scadenze: solita settimana, le soluzioni possono pervenire entro ... io direi pure domenica *mattina* prox.

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Soluzioni ‘Sarà mica matematica 20’

Ecco le nostre soluzioni al

Sarà mica matematica 20 del prof. Davide

Quesito 1

Per la classe prima hanno risposto correttamente: Bachisio, Gabriele G., Pietro P., Pietro S.

Pierluigi e qualcun altro invece non sono stati precisi, hanno parlato di somma dei numeri delle pagine e non di somma delle cifre dei numeri di pagina. 

Per la classe terza rispondono: Davì, Beatrice, Davide D. e Marco D.

La soluzione data è sostanzialmente la seguente [prendo il meglio dagli uni e dagli altri. I ragazzi di prima affermano quasi tutti: ho preso anche io un libro e l'ho aperto in una pagina qualsiasi. Ho subito visto che ... ]:

Il professore non accetta, perché sommando le cifre dei numeri delle due pagine si ottiene sempre un numero dispari e vengono interrogati solo gli alunni che corrispondono al numero dispari nell’elenco. Questo perché: a sinistra la pagina è sempre pari, la somma delle cifre può essere sia pari e allora la somma delle cifre a destra sarà dispari, sia dispari e allora la somma delle cifre a destra sarà pari, perché la pagina a destra ha una unità in più. E quindi: P+D e D+P è sempre uguale a D.

Quesito 2

Questo si è rivelato più ostico per i ragazzi della prima: quasi tutti coloro che hanno risolto il primo quesito, a cui si aggiunge Marco, danno la risposta ma non spiegano correttamente il ragionamento: essi presuppongono mediane due dei segmenti paralleli ai lati del quadrato e quadrati due dei rettangoli di cui si conosce il perimetro. Ancora una volta ripetiamo: in matematica occorre dimostrare quanto si ipotizza, non ci si può affidare solamente a ciò che vedono i nostri occhi.

 Gabriele G. spiega invece così:

Se spostiamo i lati interni dei rettangoli di cui è indicato il perimetro, sui lati del quadrato ABCD, otteniamo la misura totale di 3 lati di ciascuna delle figure (cioè 40 cm, il perimetro del quadrato). I lati rimasti uno di ogni rettangolo, formano il perimetro del rettangolo rosso.

Siccome conosciamo il perimetro totale delle figure (14 cm+12 cm+8 cm +16 cm=50 cm) possiamo facilmente trovare il perimetro del rettangolo rosso facendo la differenza tra le 2 misure: 50 cm – 40 cm = 10 cm !

Le immagini forse chiariscono meglio:

image image

I ragazzi di terza, ancora Davì, Beatrice, Davide D. e Marco D., che hanno ormai confidenza con il calcolo letterale, lo utilizzano nella soluzione.

Copio immagine e testo dal geogebra di Beatrice:

image

(12+14+16+8) cm - Perimetro ABCD =
= (12+14+16+8) cm – 40 cm  = 10 cm = Perimetro rettangolo tratteggiato.

DIMOSTRAZIONE
(2a+4b+2c+2d+4e+2f)-(2a+2b+2c+2d+2e+2f)=
= 2a+4b+2c+2d+4e+2f-2a-2b-2c-2d-2e-2f=
= 2b+2e

Le seguenti, dal geogebra di Davì:

image image

Avrebbero potuto lavorare con i semiperimetri ma, tant’è! Sorriso

Bravi, raga, e,

per dirla con il prof Davide, peccato per chi non ci ha provatoOcchiolino

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venerdì 15 marzo 2013

Caleidoscopio!

Ragazzi della prima,

se siete stanchi di giocare sulla neve,

neve in pineta  e continua a nevicare...

vi mostro una sorpresa da parte di Antonio e Gabriele F.

Hanno realizzato con Geogebra un caleidoscopio!

Cliccate sull’immagine, muovete il punto C e osservate che succede. Poi, fantasia! 

image

Che bravi, Antonio e Gabriele, che ne dite?

Con Mario l’altro ieri hanno realizzato tante belle immagini effetto caleidoscopio!

Ovviamente vorrete anche voi realizzare il vostro.

Dove le indicazioni per sapere come si fa? Ma da Maestra Renata!

Da QUESTA PAGINA  scoprirete tutto. Vedrete tante immagini dei suoi ragazzi, sarete guidati passo per passo su come si procede. Seguite bene tutte le indicazioni, imparerete tante cose: simmetrie, coordinate di un punto e colori dinamici su Geogebra ...

Grazie, maestra Renata!

PS: da parte di qualcuno aspetto ancora le spiegazioni più corrette delle soluzioni Sarà mica... 20 Sorriso

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sabato 9 marzo 2013

Soluzioni “Due a settimana”

Lette

le belle soluzioni dei ragazzi del prof Davide (ragazzi, voi di casa, andate a leggere),

ecco le nostre al

Due a settimana (n.° zero)

Quesito 1

Per la classe prima hanno risposto: Bachisio, Pierluigi, Pietro P., Davide A. 1, Gabriele G.

Per la classe terza: Davide D., Marco D., Beatrice, Rita, e, mi fa felice la risposta ricevuta nientemeno che ... dall’Inghilterra. Noo, non siamo improvvisamente divenuti internazionali! Sono Davì e Andrea F. che, in Inghilterra insieme ad altri due compagni per uno stage di una settimana, hanno inviato le loro risposte. Lodevoli, vero?

La soluzione data è stata sostanzialmente unanime:

la somma dei numeri di ogni riga corrisponde al cubo del numero di ogni riga

rigo 1 = 1 che corrisponde a 1³

rigo 2 = 8  " "  a 2³

rigo 3 = 27 " " a 3³

rigo 4 = 64 " " a 4³

rigo 5 = 125 " " a 5³

quindi la somma del rigo 15 è 15³ = 3.375

I ragazzi della prima dicono però: “alla terza”. E va bene ugualmente :-)

In verità, sempre i primini, fanno altri ragionamenti, uno simile alla soluzione di un alunno del prof. Davide. Pierluigi in maniera più tortuosa, Gabriele G. così scrive:

ho visto che i numeri laterali (partendo dall'1) si ottengono aggiungendo ad ognuno i multipli di 2, infatti : 1+2=3;  3+4=7; 7+6=13 ecc.

Però procedendo così occorrono troppi passaggi! quindi ...

Gabriele decide di sommare i numeri e ... mi sono accorto che il risultato corrispondeva al numero della riga elevato 3.

Pietro S., ancora della prima, scrive:

la somma della 15° riga é 3375 che è 125*27, perché:
125 =somma della 5° riga
27 =somma della 3° riga

Non aggiunge altro. Io dico: avrà dunque intuito la regolarità del n° riga elevato 3? Perché dovrebbe aver ragionato in questo modo:

3³ * 5³ = 15³ – con le proprietà delle potenze. Ma, sarà così??

Quesito 2

Rispondono per la prima: Bachisio, Pierluigi, Pietro P., Davide A. 1, Gabriele G., Pietro S. Ai quali si aggiungono: Gian Mario e Marco.

Per la terza: Davide D., Marco D., Beatrice, Rita e Davì e Andrea F.

Tutti interpretano correttamente la scomposizione del quadrato grande in 16 triangoli rettangoli congruenti e equivalenti alla metà del quadratino colorato. Spiegano più o meno linearmente...!

La spiegazione più comoda da copincollare e che più si avvicina alla precisione, è quella di Davì e Andrea F.

L'area del quadrato più grande misura 16 cm². Infatti un quadrato è diviso dalle sue diagonali in 4 triangoli rettangoli isosceli e congruenti perché le diagonali si tagliano a metà e sono perpendicolari. Ha 4 assi di simmetria che sono le diagonali e le rette passanti per i punti medi dei suoi lati opposti.

Ora, unendo tutti i punti medi dei lati, la figura è scomposta in 16 triangoli rettangoli congruenti ciascuno di area 1 cm², la metà dell'area del quadrato colorato.

Questa la figura, secondo la loro descrizione

image

Bene, raga, bravi tutti! E si può migliorare... :-)

Prossimo appuntamento dal prof Davide [Qualcuno di voi mi ha chiesto quando pubblicherà i nuovi quesiti: subito, state all’erta! Sorriso]

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sabato 2 marzo 2013

Due a settimana

sono i quesiti matematici che

mantengono la mente sana Sorriso

È il nostro  Sarà mica matematica.

E sì, i simpatici giochi del prof Davide ci hanno coinvolto. Da qualche settimana partecipiamo e ora siamo felici di ospitarli qui sul nostro blog. Ringraziamo in anticipo i ragazzi del prof. Benvenuti, ragazzi! Sorriso

E veniamo subito ai quesiti.

Quesito 1. È numerico e si intitola

Piramide di numeri dispari

Qual è la somma dei numeri della quindicesima riga della piramide di numeri dispari che vedete in figura?

piramide dei dispari

Inutile dire (forse, a ogni buon conto lo faccio) che non serve scrivere e poi sommare i numeri dispari fino alla 15ª riga della piramide, in quanto è richiesta comunque la scoperta della regolarità che si riscontra nella somma delle righe.

Il quesito 2 è geometrico.

Il quadratino colorato

L’area del quadratino colorato della figura è 2 cm². Quanto misura l’area del quadrato più grande?

quadrato colorato

Anche qui si richiede la spiegazione del ragionamento seguito per dare la risposta.

Per finire, è doveroso precisare che i quesiti sono presi da un testo di giochi matematici che, per ovvie ragioni Occhiolino, per il momento non rivelo.

A tutti quanti,

buoni giochi!

Oh, le scadenze: solita settimana, le soluzioni fra sabato e domenica prossimi venturi!

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venerdì 1 marzo 2013

Soluzioni ‘Sarà mica ... 19”

Anche questa settimana

i ragazzi hanno lavorato al Sarà mica matematica 19

Queste le nostre soluzioni.

Quesito 1.

Rispondono per la classe prima: Pierluigi, Gabriele, Bachisio, Davide A.

Immagine del lavoro di Pierluigi:

triangolo 19..

Gabriele equi scompone così:

tri19Gabriele

Bachisio in questo modo (ma lavora sul quaderno, lo schizzo, grazie a me Sorriso )

Bachisio Tr

Non abbiamo ancora affrontato il problema dell’equivalenza di figure piane ma tutti intuiscono l’equi scomposizione. Qualcuno dice di aver provato e riprovato ritagliando le figure su carta e poi costruendo al computer. Descrivono tutti: ho scomposto il triangolo in... poi ho accostato, rovesciato... ecc!

Per la classe terza, risolvono: Beatrice, Davì, Davide D.

Beatrice realizza il geogebra. Clic su img

image

Anche Davì scompone con geogebra (le spiegazioni, dico insomma, non chiarissime):

image

Quesito 2

Per la prima rispondono: Pierluigi, Bachisio, Gabriele

Pierluigi e Gabriele spiegano in maniera simile (correggo qualcosina, le loro figure sul quaderno):

image

se unisco il centro dei cerchi ottengo un quadrato, "gli spicchi” agli angoli del quadrato sono dei quarti di cerchio, quindi insieme formano un  cerchio (una delle parti colorate)
La parte restante di quadrato è la restante parte colorata. L'area del quadrato si ottiene (l *l ) 20*20= 400. Questa è l'area della parte colorata che si chiede.

Bachisio spiega come Beatrice, come segue ...

Per la terza rispondono: Davì, Beatrice, Marco D., Stefano, Davide D.

Beatrice lavora ancora su geogebra, Clic

image

Gli altri danno anch’essi una delle due spiegazioni viste.

ok, ragazzi,

grazie sempre al prof Davide.

Ps: il prossimo appuntamento dovrebbe essere qui da noi. Domani pomeriggio proporrò i quesiti.

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