martedì 31 agosto 2010

Mandando un messaggio ...

 Ragazzi,cell

oggi l’esplorazione di una situazione quotidiana regolata dalla matematica. Sarà un’altra nostra attività laboratoriale per ricominciare ...

Mandando un SMS

sms

Sicuramente sapete "decifrare" questo messaggio.

Questo modo di comunicare molto diffuso tra i ragazzi, può essere preso come un esempio spontaneo di codice criptato, che vuoi dire nascosto.

   E voi certamente conoscete tutte le sue regole ...

Però forse non sapete che per garantire la sicurezza e la riservatezza nella trasmissione delle informazioni, ogni SMS che inviate subisce sempre una trasformazione automatica quando viaggia: ma in che modo?

Mediante complessi codici segreti utilizzati dai gestori telefonici che criptano il messaggio. Per far questo interviene una scienza che si chiama crittografia e ha lo scopo di trasformare le informazioni in modo da renderle non comprensibili, e quindi inutilizzabili, da parte di chi non abbia diritto ad accedervi.

Ha origini antichissime: i codici segreti venivano utilizzati soprattutto per scopi militari per scambiarsi informazioni riservate.

ln questi ultimi anni, inoltre, ha avuto un grande sviluppo perché è utilizzata in tutti i sistemi informatici: telefoni cellulari, pay TV, pagamenti in Internet, ...

E allora perché non apprendere qualche piccola nozione da "agente 007"?  Vi potrà essere utile per mandare messaggi ancora più segreti ai vostri amici!

Cominciamo con uno schema sul sistema della crittografia e il significato di alcuni termini molto usati in questa scienza:

image Testo in chiaro: è il messaggio originale
Testo cifrato (o segreto): è il messaggio in codice cioè criptato
Cifrare: vuol dire passare dal testo in chiaro a quello cifrato
Decifrare: vuol dire passare dal testo cifrato a quello in chiaro
Chiave: è il procedimento che permette di cifrare o decifrare il messaggio

La crittografia elabora chiavi utilizzando prevalentemente procedimenti matematici perché sono quelli che assicurano la creazione di codici sempre più sicuri.

Ora proviamo a utilizzare (o creare!) codici, non complessi ma efficaci per capire come ragionare da veri ... agenti segreti!

1. Il codice di Giulio Cesare

Era il codice utilizzato dal grande condottiero romano per trasmettere messaggi alle truppe alleate in modo che, se intercettati dal nemico, non potessero essere compresi.

Il metodo si basava su una semplice traslazione delle lettere dell’alfabeto.

La chiave: ogni lettera in chiaro è sostituita dalla lettera che la segue di tre posti nell’alfabeto: la lettera A è sostituita dalla D, la B dalla E e così via come nella tabella (qui il riferimento all’odierno alfabeto internazionale, di 26 lettere)

Chiaro

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

q

r

s

t

u

v

w

x

y

z

Cifrato

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

A

B

C

Ecco allora che la parola CIAO cifrata con il codice di Cesare diventa FNDR.

Cifrate il vostro nome: ...................

Decifrate la parola P H V V D L L N R

Il codice di Cesare aveva il pregio di essere semplice ma il difetto di non essere sicuro perché le chiavi possibili non sono numerosissime e quindi facilmente il nemico poteva provare tutte le lettere e trovare quella giusta.

Potete inventare un vostro codice facendo slittare in modo diverso le lettere e anche aggiungendo i simboli della punteggiatura.

Ma ricordate: se volete comunicare tra di voi o con altri amici, è necessario che tutti conoscano la chiave!

A questa pagina potete cifrare dei messaggi segreti con il codice di Cesare.

2. Il codice di Polibio

Polibio, storico greco vissuto nel 200 a.C., descrive in un suo libro un metodo crittografico che fu alla base di molti altri codici successivi.
Era un metodo "a scacchiera".
La chiave: a ogni lettera si associa una coppia di numeri secondo l'ordine riga - colonna come indicato nella tabella a doppia entrata:image

Le lettere i e j, foneticamente simili in greco, sono nella stessa casella.

Ma, dato che in italiano la lettera j non è molto frequente, si può considerare che a quella casella corrisponda solo la i.

Ecco allora che la parola CIAO cifrata con il codice di Polibio diventa: (1; 3) (2; 4) (1; 1) (3; 4).

Con questo metodo si potevano trasmettere messaggi anche a grande distanza: Polibio infatti suggeriva di segnalare i numeri con le torce mettendone per esempio 1 nella mano destra e 3 nella sinistra per segnalare la lettera c.

Cifrate il vostro nome: ......................................................

Decifrate il messaggio "(1; 3) (3; 4) (3; 2) (1; 5) (4; 3) (4; 4) (1; 1) (2; 4)" .........................................................................

Nel codice di Polibio l’ordine di lettura della tabella è riga - colonna: se l’ordine cambia e diviene colonna - riga, allora anche il codice cambia.

Sapreste spiegare perché anche con degli esempi?   .................

....................................................................................  

QUI la scacchiera di Polibio e il link per provare il cifrario.

3. I codici e i numeri primi

La caratteristica più importante di un codice è la sicurezza e cioè proteggere i dati in modo che nessuno possa arrivare alla chiave di accesso se non è autorizzato.

Per questo tutti i codici crittografici più moderni sfruttano difficili procedimenti matematici che però, sorprendentemente, si basano tutti su un semplice concetto: i numeri primi.

Ma perché proprio i numeri primi?

Perché non hanno una legge di formazione o, almeno, fino ad ora nessuno l’ha mai scoperta.

Per capire meglio il problema (anche se molto semplificato per adattarlo alle vostre conoscenze), supponete di essere degli hacker, cioè dei pirati informatici, che vogliono impossessarsi dei segreti di tre codici: scopriteli e misurate il tempo impiegato a farlo per ciascuno di essi.

1. Completate l’alfabeto cifrato continuando la sequenza dei numeri dispari:

Alfabeto in chiaro

a

b

c

d

e

f

g

h

i

l

m

n

o

p

q

r

s

t

u

v

z

Alfabeto cifrato

1

3

5

7

9

 

Tempo Impiegato: ........................

  2. Completate l’alfabeto cifrato continuando la sequenza dei multipli di 2:

Alfabeto in chiaro

a

b

c

d

e

f

g

h

i

l

m

n

o

p

q

r

s

t

u

v

z

Alfabeto cifrato

2

4

6

8

 

Tempo impiegato: .......................

  3. Completate l’alfabeto cifrato continuando la sequenza dei numeri primi (senza usare le tavole!)

Alfabeto in chiaro

a

b

c

d

e

f

g

h

i

l

m

n

o

p

q

r

s

t

u

v

z

Alfabeto cifrato

2

3

5

7

Tempo impiegato: ........................

Come avete fatto a completare questa ultima sequenza e quindi a stabilire se un numero è primo?

.......................................................................................

......................................................................................
Confrontate i tre tempi: cosa ne pensate?

................................................................................................

Se la sequenza da completare nel codice 3 iniziasse con un numero primo molto grande, per esempio 4999, sarebbe ancora più difficile completare la sequenza: quanto tempo pensereste di impiegare?

.....................................................................................

La sicurezza di un codice crittografico nasce proprio da questa difficoltà: non conoscendo una regola di formazione dei numeri primi, l’unico modo per capire se un numero naturale è primo è quello di controllare se ammette come divisori solo 1 e se stesso.

Ma se il numero è molto grande le divisioni da fare per la verifica sono tantissime e quindi anche un computer potente  può impiegare molto tempo e avere difficoltà a risalire alla chiave.

Conclusione: più i numeri primi utilizzati nelle chiavi sono grandi e più sicuro e il codice.

Ma se qualcuno scoprisse un giorno che i numeri primi hanno una regola di formazione?

Questo è il sogno di ogni matematico!

E allora non sarebbero più segreti nemmeno i "segreti della Nasa"...

Per rendervi conto della "potenza" dei numeri primi, se ancora non avete letto, leggete questa notizia.

Attività tratta da Dalle Forbici al Computer

M. Zarattini, L. Aicardi

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sabato 28 agosto 2010

Orologio alla mano!

... due curiosità. Ehm, indagini!

1. Il quadrante dell’orologio

Si tratta di dividere il quadrante dell’orologio (vedi immagine) in sei parti, a vostra scelta, ma con la condizione che in ogni settore la somma dei numeri sia la stessa.

orologioquadrante

2. Determinare gli angoli

Che ampiezza hanno gli angoli (convessi) formati dalle lancette degli orologi rappresentati nella figura? Cercate di risolvere il problema mentalmente senza ricorrere al goniometro  (ma alle frazioni, sì! Forse anche a quelle equivalenti ...).

orologio2

Entrambi i problemi da Y. PERELMAN

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giovedì 26 agosto 2010

Problema: angolo in un triangolo

Raga ... vacanzieri :-)

Dunque, quando tornate e dopo aver giocato con la matematica (scorrete le pagine del blog, troverete diversi giochi...)

provate a rispondere alla domanda nella figura sotto.

Aprite l’applet cliccando sull’immagine e seguite l’indicazione piccolo-aiuto. Dovete riflettere, mi raccomando, non è difficile!

image

PS: Non ricordate cos’è o la proprietà della bisettrice di un angolo?

Io vi ricordo:

bisettrice = che bi-seca, cioè che divide in due parti.

E, per completare:

- aprite un nuovo foglio di lavoro Geogebra

Utilizzando gli opportuni strumenti:

- costruite un angolo (due semirette dalla stessa origine)

- misuratene l’ampiezza (strumento Angolo)

- tracciate la bisettrice dell’angolo (strumento Bisettrice – fra le Rette -)

- misurate l’ampiezza dei due angoli nei quali l’angolo iniziale è stato suddiviso dalla bisettrice.

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lunedì 23 agosto 2010

I bastoncini di Nepero

I bastoncini (virgulae) di Nepero

(detti anche virgulae numeratrices) sono uno strumento di image calcolo inventato nel 1614, da un grande matematico scozzese, John Napier (1550 – 1617), italianizzato Nepero. Studiò difficili argomenti di matematica ma si divertì anche a elaborare questo semplice sistema per moltiplicare numeri visto che all’epoca non esistevano certo le calcolatrici.

Si pensa che in origine i bastoncini fossero costruiti in osso o avorio, perciò erano chiamati “ossi di Napier”. La realizzazione dell’invenzione fu presentata nel 1617, anno della morte di Nepero.

I bastoncini di Nepero consentono anche altre operazioni meno semplici, quali la divisione e l'estrazione di radice.

Voi, ragazzi, potete realizzarli con un semplice foglio a quadretti o cartoncino, una matita, un righello, forbici e penna.

- Tagliate 10 striscioline uguali: saranno i 10 “bastoncini” dei numeri da 0 a 9

- Suddividete ogni strisciolina in nove quadrati: in ciascuno di essi scrivete i multipli del numero del bastoncino con le unità separate dalle decine. Così:

image

Come utilizzarli per moltiplicare

L’immagine sotto mostra un esempio:

si voglia eseguire la moltiplicazione 235 x 3.

Si accostano i bastoncini del 2, del 3 e del 5 (che corrispondono a 235, il primo fattore).

Il risultato si deduce dalla terza riga (che corrisponde al 3, il secondo fattore) tenendo conto che:

image  - 5 sono unità: unità del I ordine

- 9 e 1 sono decine: unità del II ordine

- 6 sono centinaia: unità del III ordine

e così via in caso di cifre successive.

Quindi, ricordando la forma polinomiale ... vedete nell’immagine: il risultato della nostra moltiplicazione è uguale a 705.

Più praticamente, basterebbe sommare in diagonale le cifre della terza riga, da destra verso sinistra per comporre il risultato finale. Vanno considerati
gli eventuali riporti:

6 (9+1) 5
7
(6 +1 di riporto) 
0   5

A QUESTA PAGINA potete leggere l’utilizzo dei bastoncini mediante regolo fisso e regoli mobili ...

E, volendo eseguire 235 x 56 ?

Si applica la proprietà distributiva al secondo fattore e poi si dissocia 50, procedendo così:

235 x 56 = 235 x (50 + 6) =

235 x 50 + 235 x 6 =

235 x 5 x 10 + 235 x 6

Oh ... naturalmente troverete tutto quanto nell’applet geogebra!

Troverete anche una pagina prova tu. E’ possibile accostare a piacere i diversi bastoncini. Seguite l’indicazione sull’applet e provate a calcolare:

146 x 7 =

249 x 21 =

e altre moltiplicazioni a piacere!

Clic su immagine

image

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sabato 21 agosto 2010

Amici al mare

Altri quattro amici ...

al mare.

Leggi la scheda e indovina!

IMAGE0001 Da “Matematico!” – G.Flaccavento Romano

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mercoledì 18 agosto 2010

Quadrato di carta

Proprio per i più piccini...

come i bimbi di Roberto!

Il quadrato di carta si realizza in due mosse!

quadrato

1. Ripiega un angolo in modo che un suo lato coincida con un lato del foglio

A4Quadr

2. Ripiega indietro il lembo in alto

3. Riapri l’angolo

A4Quadr14. Colora il quadrato!

Béh... vedetevi anche il geogebra! Clic.

image

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lunedì 16 agosto 2010

Esagono regolare di carta

Dopo il triangolo equilatero,

impariamo a realizzare, con un foglio formato A4, un esagono regolare.

1. Suddividi il foglio in 4 strisce uguali (prima a metà poi ancora ogni parte a metà)

foglioA4es

2. Ripiega i due angoli in modo che il loro vertice coincida con le piegature (il segmento HI servirà dopo...):

piega1es 

3. Seguendo il bordo dell’angolo ripiegato (C), Fai una piegatura dove fisserai anche il centro O dell’esagono

piega2es

4. Piega quindi lungo il segmento HI, facendo combaciare il vertice dell’angolo in B con il centro O (il segmento LM serve subito dopo):

piega3es

5. Ripiega il lembo in alto, lungo il segmento LM, in modo che il suo vertice coincida con il centro:

piega4es

6. Colora l’esagono regolare e

verifica che tutti gli angoli e tutti i lati sono congruenti.

E ora, il solito filmatino per chiarire meglio! :-)

E anche l’applet geogebra. Clic su immagine.

image

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domenica 15 agosto 2010

Triangolo equilatero di carta

Facile e divertente

realizzare dei poligoni regolari di carta.

Vi occorrono dei fogli di carta formato A4, quelli che più comunemente si usano nelle stampanti; dei pennarelli colorati, un compasso, un goniometro, per accertarvi che il poligono realizzato abbia tutti gli angoli e tutti i lati uguali.

In questo post vediamo come si costruisce un triangolo equilatero di carta.

1. Esegui la piegatura centrale del foglio (come nell’immagine  -  vedi anche le dimensioni, in cm, del foglio A4):

a4

2. Ripiega un angolo in modo che il suo vertice coincida con un punto della piegatura centrale:

PIEGA1 

3. Piega ancora così (la linea tratteggiata indica la piegatura):

PIEGA2

4. Ripiega il triangolino in alto:

PIEGA3

5. Colora il triangolo equilatero.

Tutto chiaro?

E va bene, vi aiuto con un filmatino :-)

Se poi volete provare voi sull’applet geogebra, clic su immagine sotto (ho scordato di evidenziare gli angoli! Bene, verificherete voi!):

image

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sabato 14 agosto 2010

Corrispondenze

... numeri - figure

Ogni numero corrisponde in modo logico alla figura a fianco.

Quale numero corrisponde all’ultima figura?

 

figure_numeri

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venerdì 13 agosto 2010

Pescatori sconosciuti

Quattro amici a pesca...

Leggi con attenzione quanto affermano i 4 amici, poi prova a rispondere alle domande:

- Come si chiamano questi 4 amici pescatori? 1: ?; 2: ? ecc...

- Quanti pesci ha pescato ciascuno di loro?

IMAGE0006 Se risolvi su Excel puoi avere una conferma alle tue risposte.

Scarica pescatori.xls

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martedì 10 agosto 2010

Meli e conifere

Un quesito dal sito di

 Daniel Mentrard 

In lingua francese ma, sapete tradurre vero? Eppoi, la situazione si intuisce!

Fate clic sull’immagine, avrete una tabella da completare e potrete verificare le vostre risposte.

image

grazie, prof Mentrard!

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lunedì 9 agosto 2010

... le frazioni!

Operare

con le frazioni.

Sull’applet geogebra dovete completare le figure e descrivere ciò che l’attività rappresenta. Vi serviranno gli strumenti Nuovo punto e Inserisci testo.

Clic su immagine

image

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domenica 8 agosto 2010

Il girotondo delle pulci

Ancora un gioco

- Due pulci, A e B, saltano ...

Ad ogni secondo la pulce A si sposta di 3 caselle in senso orario, mentre la pulce B si sposta di 2 caselle in senso contrario.

Dopo quanti secondi le due pulci si poseranno per la prima volta contemporaneamente sulla stessa casella?

(Campionati internazionali di Giochi Matematici) 

Potete aiutarvi con l’applet geogebra. Niente automatismi eh? Tutto manuale, tocca a voi!

Muovete le pulci mediante i rispettivi slider, con salti da 3 o 2 caselle, e, ogni volta, dopo che entrambe si sono spostate, fate scorrere i secondi (slider conta secondi)

Clic su immagine

image

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venerdì 6 agosto 2010

Triangolo di carte

Un gioco

appena visto sul blog della mia amica Maestra M.Giovanna

Divertente. Non poi così immediato come sembra! :-)

Cliccate sull’immagine per andare a leggere le regole!

- Se per caso al clic visualizzate una pag “403 Forbidden” fate clic su bypass this message.

1

grazie, Mgio’ :-)

- Aggiorno -

Ho pensato di realizzare il gioco in un foglio di Excel.

image Scaricare Triangolocarte.xls

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giovedì 5 agosto 2010

[Segnalazioni] Novità su RIOlab

Le “chiavi di ricerca” inerenti Excel,

che ultimamente più numerose portano su questo blog,

mi fanno ricordare, mea culpa, che da diverso tempo non segnalo le Novità sul sito Riolab, che tra l’altro da un po’ ha cambiato piattaforma e veste grafica. Il sito offre risorse in italiano per gli utenti di Office. Non solo Excel dunque.

L’ultima pubblicazione è un interessante contributo di Roberto sul Calcolo combinatorio con Excel.

Clic sull’immagine per visitare il sito.

riolab1

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mercoledì 4 agosto 2010

Crucinumero in Excel

Un cruciverba numerico

per i piccini e relax per i meno piccini!

Definizioni, istruzioni ed esecuzione in un foglio di Excel. Clic sull’immagine per scaricare il file.

image Altri crucinumeri per i piccoli QUI

Cruci_divisibilità per i grandi! :-)

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lunedì 2 agosto 2010

Due enigmi per i più piccini

... che arrivano dalla V primaria!

Favola...

Una favola racconta di un coraggioso cavaliere che, mentre sta compiendo un’ardita impresa, viene assalito dal nemico e imprigionato in un antro sotterraneo.

Potrebbe uscirne, se riuscisse a schiacciare il giusto pulsante di una tastiera misteriosa che compare sulla porta: quello corrispondente al più piccolo dei multipli di 5 non illuminato sulla tastiera.

Può tentare una sola volta e ha a disposizione un solo minuto!

Una voce gli sussurra che si tratta di un quadrato magico, ma lui non sa che cosa significa questo termine.

(e voi, sapete cos’è un quadrato magico?

Un quadrato magico è uno schieramento di numeri interi distinti in una tabella quadrata tale che la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna e in entrambe le diagonali dia sempre lo stesso numero; se vi piace saperne di più, fate clic QUI!

Ora aiutate il cavaliere a liberarsi!)

image

Fuggendo (grazie al vostro intervento) il cavaliere si trova di fronte a una seconda porta sbarrata.

Per aprirla dovrebbe comporre, con due rotelle numerate, il numero mancante della successione visualizzata:

image

Sapete individuare di quale numero si tratta e suggerirglielo?

- Voi potete aiutare il cavaliere scrivendo le soluzioni su un foglio Excel! Scaricate il file cliccando QUI e seguite le indicazioni sul foglio di lavoro. Avrete un riscontro (premio o...!)sulle vostre risposte! (al posto delle rotelle numerate della favola, avrete a disposizione dei “menu a tendina” che appaiono premendo su un “triangolino” – uno lo vedete sull’immagine – da cui scegliere la cifra giusta)

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domenica 1 agosto 2010

Lo spago e ... la lettera T!

Due rompicapo ...

- Uno con le frazioni

1. Lo spago

— Altro spago? — chiese la madre, tirando fuori le mani dalla tinozza in cui stava lavando — Solo ieri te ne ho dato un bel gomitolo. Come fai ad averne bisogno di altro? Dove l’hai messo?
— Dove l’ho messo? — rispose il ragazzo — Prima me ne hai ripreso la metà...
— E con cosa vuoi che leghi i pacchi di roba pulita?
— La metà del rimanente se l’è presa Tom per pescare.
— Devi essere condiscendente con tuo fratello maggiore.
— Lo sono stato infatti. Così ne era rimasto più poco, spagoe papà ne ha preso la metà per aggiustarsi le bretelle che si erano rotte tanto aveva riso per l’incidente dell’automobile. Dopo, Maria ha avuto bisogno di 2 quinti di quel che ne restava, per legare non so che ....
— E cosa ne hai fatto del resto dello spago?
— Cosa ne ho fatto? Non me ne erano rimasti che 30 centimetri!

Quanto era lungo lo spago in origine? 

[Y. PERELMAN]

(vi aiuto con la figura, eh?)

- E un rompicapo con figure e lettera T

2. La lettera T

Accostando nel modo giusto le figure disegnate si ottiene la lettera T. Clic sull’immagine per lavorare su geogebra. (se vi è d’aiuto, visualizzate la griglia - clic destro)

image

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