Spirale uniforme o di Archimede [Aggiornato]

Eh, dopo lo zufolo...
ancora Archimede!
Eccome no. Uno dei primi matematici a studiare le proprietà delle curve a spirale, Archimede dedica un’intera sua opera, Sulle spirali, alla curva che prenderà il suo nome.
Per cominciare, ragazzi, andate a guardare quest’animazione. Clic sull’immagine
Piaciuta? :)
Noi possiamo immaginare uno spago che si srotola: per ogni 1/16 di giro si srotola di 1 cm. Cioè:
dopo 1/16 di giro lo spago è di 1 cm;
dopo 2/16 di giro lo spago è di 2 cm;
dopo 3/16 di giro lo spago è di 3 cm; ecc...
La spirale è uniforme, cioè cresce uniformemente, ossia il “passo” è sempre lo stesso.
Guardate l’immagine sotto, realizzata con GeoGebra.
Vedete l’angolo giro suddiviso in 16 parti;
all’angolo pari a 1/16 di angolo giro, corrisponde una circonferenza di raggio 1;
all’angolo pari a 2/16 di angolo giro corrisponde una circonferenza di raggio 2:
e così via.
Si segnano via via i punti di intersezione tra ciascuna circonferenza e la semiretta uscente dal centro A, lato del relativo angolo. Cioè: il primo punto, D, è l’intersezione tra la circonferenza di raggio 1 e la semiretta lato dell’angolo di ampiezza 1/16 di 360°; il secondo punto è l’intersezione tra la circonferenza di raggio 2 e la semiretta lato dell’angolo ampio 2/16 di 360°, e così di seguito.
Unendo successivamente tutti i punti si ottiene la spirale di Archimede (lo spago che si srotola).
Clic sull’immagine per aprire l’applet sulla quale potrete seguire la costruzione

Ogni punto è caratterizzato da due numeri:
D(1; 1/16), E(2; 2/16), F(3; 3/16), ecc....
Se indichiamo con y il numero degli angoli e con x la distanza del punto da A, il raggio dei cerchi, si ha sempre:
y = 1/16 x
Questa è l’equazione della nostra spirale.
Sul piano cartesiano è rappresentata da una retta per l’origine degli assi


 Spirale e retta hanno la stessa equazione nei due sistemi di riferimento. Due grafici tanto diversi rappresentano la stessa legge...

Attività tratta da Matematica nella Realtà

E. Castelnuovo, M. Barra

Abbiamo visto (con i compagni che vi hanno preceduto) e vedremo altre curve spirali, potremo fare dei confronti...

[Aggiornamento per i ''più grandi'']
A Questa Pagina approfondimenti dal punto di vista matematico, esempi animati e interattivi con possibilità di variazione dei parametri dell'equazione.  

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