giovedì 29 aprile 2010

Regolarità nella successione dei numeri pari

Indagano e scrivono Maria Chiara e Letizia...

Nel post 

mcm e MCD: approfondisco,

   la professoressa ci chiedeva:

Il MCD fra due numeri pari consecutivi può essere 4?

E’ nata una discussione.... uuhm... abbiamo dovuto seguire il suggerimento della prof!

Abbiamo riportato i numeri pari e i loro fattori primi su una tabella.  Abbiamo scoperto molte regolarità che elencheremo in seguito.

Subito diciamo che la risposta al quesito è la seguente:

il massimo comune divisore fra 2 numeri pari consecutivi non può essere 4 perché:

  • Con l’alternarsi dei numeri pari troviamo regolarmente il 2 moltiplicato per i numeri dispari (in successione)

Es: 6 = 2 * 3

      10 = 2 * 5

      14 = 2 * 7

      18 = 2 * 3²(= 9 )

      22 = 2 * 11

E questa è la prima regolarità. L’abbiamo evidenziata in un foglio Excel.

regolaritàpari1

Ancora:

  • Ogni volta che si raddoppia un numero pari si ottengono le potenze crescenti di 2 (anche se si sa, questo è logico!)

Es: 4 = 2²

       8 = 2³ = 2² *2

       16 = 2^4 = 2³ * 2

regolaritàpari2

e così via.

  • Con le potenze crescenti di 2  si ripete la stessa cosa del primo caso: le troviamo via via moltiplicate per i numeri dispari

Es: 4 = 2²

        12 = 2² * 3

        20 = 2² * 5

       ....

       8 = 2³

      24 = 2³ * 3

      40 = 2³* 5

regolaritàpari3

In particolare: la prima potenza di 2 moltiplicata per i numeri dispari crescenti la troviamo ogni due numeri pari, la seconda potenza di 2 moltiplicata per i numeri dispari la troviamo ogni quattro numeri pari, la terza potenza di 2, ogni otto numeri pari e così dicendo.

- Si può scaricare il file Regolarità_pari.xls

E, o ragazzine (e compagni)! Se anche voi scaricate il file troverete una sorpresina: un nuovo foglio di lavoro che vi permette di scomporre automaticamente un numero in fattori primi. Digitate il numero in una cella e... voilà: i suoi fattori primi con una semplice formula...Non li avrete però sotto forma di potenza. Controllate sul foglio di lavoro! 

(Potreste così proseguire facilmente la verifica delle regolarità... o trovarne per altre successioni di numeri)

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mercoledì 28 aprile 2010

Cono, solido di rotazione

III,
vi segnalo intanto l’aggiornamento del post

Cono: sviluppo sul piano con geogebra,
integrato con una nuova applet nella quale è possibile, oltre che visualizzare lo sviluppo piano, modificare le dimensioni del raggio di base e dell’altezza del cono.
Ho preparato quindi una nuova animazione GeoGebra che mostra come un triangolo rettangolo che modifica la sua posizione descriva una figura solida: il cono, appunto.
Lo sappiamo, possiamo dire che il cono è la regione di spazio occupata da un triangolo rettangolo che ruota attorno ad uno dei suoi cateti.
Sappiamo anche che figure solide di questo tipo sono chiamate solidi di rotazione.
Detto ancora meglio, il cono possiamo pensarlo generato dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno alla retta a cui appartiene un suo cateto.
Tale retta è l’asse di rotazione,
l'altezza del cono è rappresentata dal cateto appartenente all'asse di rotazione.
L'altro cateto descrive un cerchio che è la base del cono e la sua misura è la misura del raggio di base.
L'ipotenusa del triangolo rettangolo è la generatrice della superficie curva e prende il nome di apotema del cono.
Stiamo considerando un cono retto: l'altezza cade nel centro del cerchio di base.
Clic sull’immagine per aprire l’applet
cono_rotaz
Link:
Les Mathematiques avec GeoGebra

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lunedì 26 aprile 2010

Esercizionline_prima

Ragazzi,

eh.. da un po’ non vi propongo esercizi sulla nostra “classe virtuale”. Ricordate ancora la vostra password, vero?

Fate clic sulla figura e andate ad eseguire. (Clic sul vostro nome e scegliete gli ultimi due test pubblicati, quelli che leggete in immagine) Buon lavoro!

Quiz

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domenica 25 aprile 2010

Primi “algebristi” ufficiali: i barbieri!

O,

lo avreste mai detto? I barbieri primi esperti in algebra!

La parola Algebra viene dall'arabo Al-Jabr che, tradotto in latino, diventa restauratio ovvero ristabilimento dell'equilibrio.

La parola equilibrio veniva intesa come la possibilità di stabilire, per esempio in una eguaglianza, la giusta distribuzione dei “pesi” nei due membri

IMAGE0001 Gli algebristi usavano la parola “equilibrare” quando per esempio, come stiamo per studiare in maniera più approfondita, in una equazione, che altro non è che un’uguaglianza, si trasporta un termine da un membro all'altro, cambiando segno.

In Spagna, durante la dominazione araba (689 – 1492), quasi tutte le botteghe di barbiere nella loro insegna recavano la scritta Al-Jabr. Il motivo non era quello che i barbieri fossero tutti laureati in Matematica (in Algebra) ma, ovviamente, un altro: in Spagna, in quel periodo, i barbieri fornivano anche le prime prestazioni medico – infermieristiche, si occupavano quindi, sì della “restauratio”, ma del corpo umano.

Al-jabr  infatti, venne anche a significare “conciaossa” e quando i Mori trasportarono il termine in Spagna esso divenne “algebrista”, continuando a conservare quest’ultimo significato.

Tanto che, più precisamente, la scritta sopra l’ingresso delle botteghe dei barbieri era “Algebrista y Sangrador” (conciaossa e salassatore). In altre parole i barbieri facevano gli aggiusta-ossa, da qui la loro insegna “algebrica”.

Anche nell’Italia del XVI secolo la parola “algebra” denotava l’arte di aggiustare le ossa.

La parola Al-jabrimage proviene da un libro intitolato Al-jabr w’al muqâbala scritto nell’830 dall’astronomo - matematico Mohammed ibn Musa al-Khowârizmî  (780/850 ca), vissuto a Bagdad nel IX sec. d.C, il vero padre dell’algebra, o perlomeno del termine che la contraddistingue.

Della vita di al-Khowârizmî non si conosce quasi nulla, tranne forse il fatto, come indicato dal nome, che era originario di Khwâ rizm (oggi Khiva), città del Turkestan, entrata a far parte del dominio arabo nel 712.
L’algebra di al-Khowârizmî si basa sull’opera di Brahmagupta, ma rivela anche influenze babilonesi e greche.

Nella versione araba del trattato Al-jabr w’al muqâbala, a differenza di quella latina, compare anche una prefazione in cui al-Khowârizmî loda il profeta Maometto ed il califfo al-Mamun, che fondò a Bagdad una “Casa del sapere” (Bait al-hikma), nella quale confluirono scienziati e filosofi dalla Siria, dall’Iran e dalla Mesopotamia, e che lo invitò affidandogli l’incarico di comporre una breve opera per mezzo (delle regole) di completamento e riduzione.

Non è certo facile dare una definizione generale di algebra. In un primo significato l’algebra può essere vista come una generalizzazione dell’aritmetica, nata dalla necessità di rendere generali i procedimenti da eseguire.

Nel corso dei secoli sono state le definizioni più diverse di algebra:

  • Al-Karaji (X-XI sec): “determinazione di incognite a partire da premesse conosciute.
  • As-Samaw’al (XII sec): “operare su [quantità] incognite per mezzo di tutti gli strumenti aritmetici, come l’aritmetica sulle (grandezze) note”.
  • Omar Khayyam (XI-XII sec): “Io dico che l’Algebra è un’arte scientifica. Gli oggetti di cui si occupa sono numeri assoluti e grandezze misurabili che, sebbene in sé sconosciute, sono collegate con cose note per cui è possibile la determinazione delle quantità incognite”.
  • Matematici indiani: algebra come Vijaganita, titolo di un’opera di Bhaskara, che significa “scienza di calcolo con le incognite”.
  • F. Viète (1540-1603) [vedi anche Viète, il padre dell'algebra simbolica, dove trovi altro sulla storia dell’algebra]: “Un’equazione è dunque un’eguaglianza (comparatio) tra una grandezza incognita (incerta) e una grandezza nota (certa)”.

Il nostro modo di indicare i numeri, di operare con essi e, in generale, di fare i calcoli, non risale agli antichi greci, per quanto abbiano fatto della matematica uno degli ambiti dei loro studi, ma, come sappiamo, agli arabi, che diffusero le cifre indiane.

I simboli dell’algebra ed il modo che oggi utilizziamo e che con un po' di allenamento, ci possono apparire ovvi e naturali sono in realtà frutto di un lavoro di rielaborazione per molti secoli.

I Babilonesi (II millennio a.C.), che sotto molti aspetti sono considerati i fondatori dell'algebra, non facevano uso di simboli e si limitavano a descrivere nel linguaggio naturale le procedure risolutive di vari problemi.

Presso i Greci l'algebra ebbe il suo periodo di maggior splendore nel periodo ellenistico (III secolo d. C.), soprattutto a opera di un matematico di Alessandria, Diofanto (243 – 330 d.C), che per primo elaborò un sistema di simboli adatti a rappresentare, mediante segni speciali, la variabile, alcune sue potenze, la sua inversa, qualche operazione.

... puoi continuare a leggere alla pagina segnalata su F. Viète.

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mercoledì 21 aprile 2010

mcm e MCD: approfondisco

Ragazzi,

devo dire bravi anche nella scoperta e nel calcolo del MCD (massimo comune divisore, il più grande fra i divisori comuni a due o più numeri). Bravi anche nello stabilire immediatamente che l’insieme intersezione tra gli insiemi dei divisori di due o più numeri è il loro MCD (il prodotto dei fattori-divisori comuni naturalmente). Così come l’insieme unione è il loro mcm!

Posso dunque proporvi qualche approfondimento-curiosità!

Provate a cimentarvi con i seguenti quesiti:

  1. Il MCD fra due numeri pari consecutivi può essere 4? Il MCD fra due numeri dispari consecutivi può essere 3? Portate qualche esempio. (come aiuto, eventualmente, suggerisco la compilazione di una tabella in cui riportate i fattori primi dei numeri pari (o dei dispari) in successione: 4=... ...; 6=... ...; 8=... ...; ecc. – ma in colonna – Noterete delle regolarità ...)
  2. Mostrate su qualche esempio che il mcm fra due numeri pari consecutivi si ottiene moltiplicando un numero per la metà dell’altro.
  3. Mostrate su qualche esempio che il mcm fra due successivi numeri che terminano con 5 si ottiene moltiplicando uno di questi numeri per l’altro diviso per 5.
  4. Volendo trovare tutti i divisori comuni a più numeri basta cercare tutti i divisori del loro MCD. Provate a trovare i divisori comuni di:
    48    56   64
    determinando prima il MCD di questi numeri. Portate qualche altro esempio e cercate di dimostrare per iscritto perché è valida questa regola.
  5. Mostrate su un esempio che il mcm fra due numeri si può sempre ottenere moltiplicando i due numeri e dividendo il prodotto per il loro MCD
  6. Se il MCD è un numero pari, il mcm può essere dispari? Il mcm deve essere sempre un multiplo del MCD?

Insomma, abbiamo materiale per delle altre belle attività!:-)

Segnalo inoltre, altra curiosità:

Algoritmo di Euclide per il calcolo del MCD in Excel

e

Massimo comun divisore

Chi può cominci a vedere; gli altri, in classe!

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lunedì 19 aprile 2010

Minimo comune multiplo mediante un’operazione tra insiemi

Ragazzi,

Possiamo calcolare, e visualizzare con i diagrammi di Eulero-Venn, il più piccolo dei multipli comuni a due o più numeri (mcm), ricorrendo ad una delle operazioni fra insiemi che noi conosciamo.

- Suggerisco perciò, in primo luogo un ripasso, una rivisitazione delle operazioni con gli insiemi: operazioni con insiemi_1 e operazioni con insiemi_2clip_image001[7]

- Comincerei perfino a fare qualche ipotesi su quale operazione insiemistica restituisca il mcm fra due o più numeri! Ricordate: cerco un multiplo, il più piccolo dei multipli comuni, gli elementi di un insieme vanno indicati una sola volta...

- Clic quindi sull’immagine_titolo qui sotto per aprire e lavorare sull’applet geogebra

mcm_insiemi

Se occorre: scaricate il .ggb

Lavorate bene!

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domenica 18 aprile 2010

Altre situazioni ...

Ragazzi,

continuiamo a scoprire... utilizzando concetti.

- Considerate le situazioni seguenti.

1. In un giardino si vuole inserire il maggior numero possibile di aiuole tutte uguali, sistemando al loro interno lo stesso numero di cespugli di rose e di margherite.

Avendo a disposizione 18 cespugli di rose e 24 di margherite, quante aiuole si possono inserire? rosemargherite

Quanti cespugli di rose e di margherite verranno sistemati in ciascuna aiuola?

Come sempre, provate a ragionare. E, solo se avete difficoltà, aiutatevi con l’animazione. Nel caso non visualizzaste l’applet, scaricate il .ggb

- Una seconda situazione, simile:

2. Tre quantità di olio, rispettivamente 75 litri, 60 litri e 45 litri, devono essere travasate in damigiane della stessa capacità che sia la massima possibile.

Quante damigiane occorrono e quale deve essere la loro capacità?

Come al solito, discussione in classe!

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venerdì 16 aprile 2010

La via dell’infinito

 Ragazzi,

lo incontriamo ... sempre più frequentemente direi: IMAGE0001

E ricordate una costruzione simile alle seguenti, nel corso di un’attività su geogebra?

circonf_Infinito

E ancora:image image image image image

Riconosciuta l’esperienza della tavoletta, “riportata su geogebra? I due casi “limite”: dal triangolo degenere al... vertice che si allontana indefinitamente dalla base.

E, immaginando di dividere una torta per un numero di persone sempre più grande, sempre più grande... : un altro caso “limite”!

E l’insieme N, infinito, che contiene i Pari e i Dispari, infiniti ... ?

E L’hotel straordinario poi? E, Il folle inquinatore?

Insomma, stiamo parlando de ... l’infinito!

Ah, magica, affascinante matematica dell’infinito!

"Da tempo immemorabile l'infinito ha suscitato le passioni umane più di ogni altra questione. E' difficile trovare un'idea che abbia stimolato la mente in modo altrettanto fruttuoso, tuttavia nessun altro concetto ha più bisogno di chiarificazione" (D. Hilbert).

Ora leggiamoci quest’altra storia. Lo abbiamo detto: i Pari e N ... :

La via dell’infinito

La grande città di Nova Atene è attraversata da una strada molto lunga, talmente lunga che nessuno è mai riuscito a raggiungere l’ultima casa.

Un viaggiatore, quando arriva con il treno, scopre, uscendo dalla stazione, l’inizio di questa via: le case sulla destra sono numerate con i numeri pari 2, 4, 6, 8, 10, ... e quelle sulla sinistra con i numeri dispari 1, 3, 5, 7, 9,  ... (come in ogni strada che si rispetti!).

IMAGE0002

Non vi è alcuna casa con il numero 0 e neppure vi sono case con i numeri "bis": dunque è facile trovare una casa di cui si conosca il numero civico.

Interessiamoci per esempio ai numeri pari. Ogni volta che conosciamo il numero civico di una abitazione (24 per esempio), possiamo dire qual è la sua posizione nella strada: è la 12_esima casa a destra. Infatti la casa numero 2 è la prima, la casa numero 4 la seconda, la casa numero 6 la terza e cosi di seguito. 

Invece se conosciamo la posizione di una casa (la 37 ª del lato pari, per esempio), siamo capaci di dire il suo numero (avrà il numero 74).

Possiamo dunque molto semplicemente mettere in corrispondenza il numero di una casa sul lato destro con la sua posizione e viceversa: i matematici dicono che vi è una corrispondenza biunivoca, dicono pure una "biiezione", tra l’insieme dei numeri pari e l’insieme delle possibili posizioni. 

IMAGE0001

Sembrerebbe una cosa da nulla ma questa corrispondenza fra i numeri pari e la posizione di una casa ha qualche cosa di vertiginoso. Infatti, quando abbiamo una corrispondenza oggetto a oggetto, tra due insiemi, si ha ragione di ritenere che questi insiemi abbiano lo stesso numero di elementi, che l’uno sia tanto "numeroso" quanto l’altro. 

CI SAREBBERO DUNQUE TANTI NUMERI PARI QUANTI SONO I NUMERI INTERI? 

E tuttavia, se immaginassimo che ci sono "tante" case da un lato "quante" dall’altro saremmo portati a pensare che i numeri pari sono "la metà" di tutti i numeri interi. C’è qualche cosa di strano in tutto ciò!

Infatti i numeri pari rappresentano solo una "parte" dei numeri interi; e una parte senza alcun dubbio "più piccola". Siamo abbastanza convinti infatti che il tutto sia "più grande" di una parte (più "grande", dunque più "numeroso" nel nostro caso dove si possono contare gli elementi uno a uno). Diciamo qualcosa di falso?

IMAGE0003  

... La soluzione sta proprio nella corrispondenza biunivoca, nella biiezione, lo strumento principalmente usato da Georg Cantor (1845-1918), matematico tedesco, per contare l’infinito!

Continueremo a leggere altri esempi in

Addomesticare l’infinito A. Deledicq – F. Casiro - Edizioni Kangourou Italia

da cui sono tratte ancora, storia e immagini (escluse quelle dei nostri lavori su geogebra).

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martedì 13 aprile 2010

Situazioni...

Ragazzi,

(ormai penso sarà questa una delle attività di domani...)

- Considerate la situazione seguente:

Andrea e Giorgio vanno in biblioteca periodicamente. Andrea vi si reca ogni 4 giorni, Giorgio ogni 5.

Se oggi sono entrambi in biblioteca, fra quanti giorni si ritroveranno di nuovo insieme?

Provate a ragionare. Dovrete utilizzare un concetto ... che ben conoscete ormai! O no?

E se proprio non riuscite, solo se, ... ci aiuteremo con quest’animazione!

intervallimcm 

- E, poiché sono certa sarete bravi, risolvete la situazione seguente, simile:

Tre fontane luminose si colorano di rosso ad intermittenza, la prima ogni 50 secondi, la seconda ogni 30 e la terza ogni 35. Se inizialmente si colorano di rosso contemporaneamente, dopo quanti secondi si coloreranno di rosso ancora tutte e tre insieme?

Discussione ... in classe!:-)

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lunedì 12 aprile 2010

Del sommare più, e meno ...

III,

Provate a leggere la pagina dell’illustrazione

Algebra_Bombelli

Direi anzi che dovreste trascriverne sul quaderno il testo, e soprattutto “tradurlo” con i simboli e le parole che utilizzeremmo oggi.

Si tratta di una pagina di un antico documento, edizione 1572!

L’opera: L’algebra di Rafael Bombelli.image

R. Bombelli: un matematico italiano (Bologna, 1526 – Roma, 1572), tra i primissimi a dare delle definizioni chiare dei numeri negativi e delle loro regole di calcolo.
Proprio nel suo capolavoro, l’Algebra.

 I numeri relativi sono ormai diventati parte integrante della matematica, al punto che, come hai potuto constatare, le loro proprietà vengono oggi insegnate già nella scuola media.

Per lungo tempo, però, come accennato ne I numeri e l’essenza della matematica, essi rimasero in una sorta di “atrio" della matematica, come se i matematici non riuscissero in alcun modo a farli stare fuori dalla porta di casa, ma non volessero nemmeno accoglierli a pieno titolo insieme ai numeri "assoluti". Chi in qualche modo incominciava a farne uso, continuava a chiamarli numeri surdi (cioè assurdi), o fittizi, o falsi, come se fossero degli enti comodi da usare in certe situazioni per svolgere alcuni calcoli, ma fossero privi di un valore reale.

L’illustrazione di apertura riporta due tra i primi paragrafi de L’algebra ; in essi Bombelli spiega come si possono moltiplicare tra loro i numeri relativi e come li si possa sommare. Come detto, sono tratti dall’edizione del 1572: può essere molto divertente (anche se richiede una buona dose di pazienza) provare a leggerli, per capire le caratteristiche tipografiche di queste opere a stampa e le particolarità della lingua del Bombelli, un volgare molto corretto e raffinato.

Rafael Bombelli nacque a Bologna, attorno al 1526, in una famiglia da decenni impegnata in opere idrauliche per la città. Rafael fu il primo di sei figli; egli venne istruito dall’ingegnere-architetto Pier Francesco Clementi e ne imparò il mestiere. Molti dei suoi progetti riguardavano la bonifica di terreni, tra cui quello delle marcite della val di Chiana.

Rafael non ricevette un’educazione universitaria ma, nonostante questo, non solo si avvicinò ai più recenti studi di algebra, ma addirittura vi contribuì ampiamente con la propria opera.

Le notizie sulla vita di Rafael Bombelli sono tuttavia talmente scarse che nemmeno la data della sua morte è certa, anche se pare sia avvenuta poco dopo il 1572.

Il mondo di Rafael. Durante il XIV e il XV secolo Bologna fu, volta per volta, sotto il dominio dei Visconti, signori di Milano, o sotto l’influenza del governo della Chiesa Romana, o ancora fu governata dalle più importanti famiglie cittadine in lotta tra loro per ottenere la supremazia.

Queste lotte, che vedevano spesso contrapporsi ghibellini e guelfi, coinvolsero talora tragicamente la famiglia di Rafael che, per decenni, era stata stimata e protetta dai signori della città, Sante e Giovanni II Bentivoglio; proprio grazie all’aiuto di questa famiglia di "idraulici", i Bentivoglio si erano infatti preoccupati di migliorare le condizioni di Bologna, in particolar modo del suo acquedotto.

Quando Papa Giulio II prese il potere sulla città, costrinse gli amici dei Bentivoglio all’esilio e, nel 1508, il nonno di Rafael venne ucciso per aver tentato di opporsi al dominio dello Stato della Chiesa e i beni della famiglia furono confiscati per alcuni anni. 

Dal testo AlgebraB. Rosaia

Ps: i più volenterosi di voi (ma ce n’è? :-)) potranno leggere i post con questa etichetta:

La notazione matematica

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venerdì 9 aprile 2010

Cilindri di ugual base

 Andrea e Gimmi

hanno realizzato una presentazione che mostra come, considerando dei cilindri di uguale base e di altezza doppia, tripla, ... , i loro volumi variano secondo la legge di proporzionalità diretta.

Altezze E Volume Cilindro
View more presentations

L’animazione, partendo da cilindri a base costante, costruisce una retta per l’origine, cioè la rappresentazione grafica di due grandezze direttamente proporzionali.

Ancora da La MatematicaFigure solide Emma Castelnuovo

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I numeri e l’essenza della matematica

Ragazzi, ... tutti!

Per la III un utile ripensamento, una sintesi del viaggio tra gli insiemi numerici, scoperti nel corso dei tre anni di scuola media. Vi ritroverete: cito diverse delle vostre attività su questo blog!

Per la I: anche voi, in parte, vi ritroverete. Per il resto, consideratela pure una lettura propedeutica! :-) So che ci sono dei curiosi... benissimo!

La “storia” che segue è scritta da Emma Castelnuovo ma, per altro, noi possiamo dire di aver sempre lavorato, spesso citandola, o anche no, sotto la sua ala protettiva. (Ci piace dire così!)

  - È bello ripensare al cammino percorso per riflettere sui problemi che, a poco a poco, ci hanno condotto ad ampliare gli insiemi numerici e a introdurre nuovi simboli, nuovi numeri; simboli e numeri che sembra abbiano imposto la loro esistenza. image

   È bello perché è un rievocare il faticoso cammino dell’umanità attraverso le successive estensioni del numero; e non è solo di matematica che si parlerà ma è, piuttosto, di una “storia sociale” del numero.

   Riflettiamo. Pochi numeri sono necessari agli uomini se essi si dedicano alla pastorizia o alla coltivazione di qualche pianta da frutto 0 di qualche legume: pochi numeri, perché anche il commercio si svolge attraverso lo scambio di prodotti. Cosi vivevano, con pochi numeri, i popoli primitivi; cosi vivono, con pochi numeri, delle popolazioni tuttora esistenti e che abitano in qualche regione dell’interno dell’Africa, dell’America Latina, dell’Australia.

   Ma poi gli uomini impararono l’utilità di questi simboli che per noi sono ormai  “il pane quotidiano”. Impararono a fare, con i numeri naturali, le quattro operazioni, ma... subito si accorsero che non sempre le potevano eseguire.

   Eppure, molte volte era necessario avere una risposta: «quale parte di pane spetta — ci si chiedeva - ad ogni persona se ci sono 3 pani da dividere fra 5 persone?». Problema pratico, questo, che esige una soluzione.

   È per risolvere appunto problemi di questo tipo, per dare una risposta all’operazione di divisione: 

x = 3 : 5

che si impose l’introduzione di nuovi numeri.

   Non era possibile che gli uomini si trincerassero entro “le mura” che recingevano i numeri naturali, anche se era comodo lavorare in quel piccolo mondo. Furono sfondate le mura dell’insieme dei naturali per sfociare in un mondo di simboli che permettevano di eseguire sempre la divisione: erano i numeri frazionari. Ai numeri frazionari, insieme ai naturali, si diede il nome di numeri razionali, nome che esprime il fatto che era «ragionevole» introdurli.

   Ma anche il mondo dei razionali non bastava per risolvere un altro problema di carattere pratico: “di quale lunghezza si deve costruire il lato di un quadrato se si vuole che il recinto raccolga un’area di 20 metri quadrati?”. La radice quadrata di 20 non è né un numero naturale né un numero frazionario.

   L’operazione

$x\,=\, \sqrt{ 20 }$

non  trova dunque risposta nell’insieme dei razionali.

   Allora gli uomini sfondarono anche la cinta del mondo dei razionali e si trovarono in un mondo nuovo, nell’insieme dei numeri irrazionali; un termine, “irrazionale”, che ci fa capire come tutto un dramma sia stato suscitato dalla scoperta di questi numeri non esprimibili razionalmente: un dramma che si svolse nell’antica Grecia, al tempo di Pitagora, nel 500 a.C.

   Ma i secoli scorrono e quella che prima era considerata come «una verità scandalosa», cioè l'esistenza di questi strani numeri, venne poi considerata  come una cosa naturale, più che ragionevole, e gli uomini sorrisero pensando ai “drammi” dei loro antenati. Gli uomini considerarono questi numeri come aventi lo stesso diritto di vita dei razionali e, quasi per affermare con una sola parola questa parità di legge, questa effettiva esistenza, diedero a tutti i numeri, razionali e irrazionali, il nome di numeri reali.

   Meno naturale era l’introduzione dei numeri negativi. Questa volta ci si trova davanti a una estensione degli insiemi numerici che non è certo venuta spontanea al pensiero “dell’uomo della strada”, ma che è dovuta al matematico: e la cosa più emozionante è che questo matematico viveva nel 2000 a.C.! Ma, per molti secoli, questi nuovi simboli non entrarono nella società, e anche i matematici stentarono a “vederli” come numeri tanto che li chiamarono “quantità assurde”, quasi a voler sottolineare l'assurdità di averle introdotte.

   Poi, gli uomini pensarono che, in fondo, il valore di un numero è, molte volte, relativo ad un’altra indicazione: come esprimere, per esempio, in modo breve se i 3 chilometri che devo percorrere sono verso est o verso ovest? Come scrivere in maniera concisa se la temperatura di questa notte era di 4 gradi sopra zero o di 4 gradi sotto zero? Premettiamo un segno, il + o il -, ai numeri, e non ci saranno più incertezze. Il valore di un numero è relativo al segno. II termine di numeri relativi era il più espressivo: cosi furono chiamati.

   E, d’improvviso, ogni insieme numerico già considerato si vide “riflesso” nel campo negativo: si ebbero cosi i numeri razionali positivi e negativi, e i numeri irrazionali positivi e negativi. Si ebbe insomma l’insieme reale positivo e, per simmetrizzazione, l’insieme reale negativo.

   Con questi numeri — ci si chiede — possiamo veramente eseguire tutte le operazioni? Possiamo finalmente lavorare in pace, sicuri che ogni operazione troverà la sua risposta?

   Riflettiamo:

$\sqrt{ 4 }\,=\,+2 \,\,perché\,\, (+ 2)^2\, =\, 4$

e anche:

$\sqrt{ 4 }\,=\,-2 \,\,perché\,\, (-2)^2\, =\, 4; $

ma, quale soluzione avrà l’equazione

$x\,=\, \sqrt{ -4} \,?$

x non può essere uguale a — 2 perché sappiamo che (— 2)² = + 4.

   No, l’insieme dei numeri reali non è chiuso rispetto a tutte le operazioni! Si deve ancora, in questa immensa cinta di mura, operare una breccia!

   Ma, trovare la  $\sqrt{ -4}$  non rifletteva certo una questione di carattere pratico; ed è certo che la soluzione di questo problema non poteva venire dall’uomo della strada. Anche questa volta la risposta fu data dai matematici.

   Nuovi numeri furono introdotti in un’epoca relativamente recente, nel 1500, dagli algebristi italiani, dei numeri che sembrarono ancor più irragionevoli degli irrazionali, ancora più assurdi dei relativi, tanto che furono chiamati “quantità silvestri”, “quantità false”, “numeri immaginari”. Quest’ultimo nome è ancora rimasto, ma gli uomini di oggi sorridono di quelle che apparivano ai loro antenati delle strane fantasie matematiche.

   Questi numeri immaginari, li imparerete a conoscere nel corso degli studi successivi, e apprenderete che oggi dei numeri così astratti intervengono anche nella risoluzione di molti problemi tecnici. 

Da La MatematicaNumeri B, Emma Castelnuovo - La Nuova Italia Ed.

E infine, o monelli di terza, ehmm ... senza parole!

DiagrammaRealirelativi

E/o anche

DiagrammaRealirelativi2

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mercoledì 7 aprile 2010

Parallelepipedi equivalenti

III,

Una breve presentazione: due cubi uguali si trasformano in due parallelepipedi equivalenti.

Il numero delle facce che potete vedere sono diverse. La superficie minima, lo sapete, è quella del ... ?

Dal testo La MatematicaFigure solide  Emma Castelnuovo

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martedì 6 aprile 2010

Un misterioso numero preso dal Vangelo

Ragazzi,

prima della ripresa, oppure per la ripresa...

Le curiosità sui numeri non finiscono mai!

Si legge nel Vangelo:

"Ascendit Simon Petrus et traxit rete in terram plenum magnis piscibus, centum quinquaginta trium." (Iohannem, 21, 11)

E cioè:

«Simon Pietro montò nella barca e tirò a terra la rete piena di 153 grossi pesci». Giovanni, XXI, 11

Perché 153 e non 150 o 155? Forse arcani misteri si nascondono dietro il 153? Quali? In verità questo numero ha qualcosa di magico. Intanto soddisfa alcune proprietà aritmetiche di fronte alle quali solo i minerali più grezzi restano indifferenti:

a) è la somma dei numeri da 1 a 17 compreso, niente di speciale:

1+2+3+4+....+15+16+17 = 153

b) Si può scrivere come somma:

153 = 1+(1x2)+(1x2x3)+(1x2x3x4)+(1x2x3x4x5)

ossia usando il fattoriale(!):
153 = 1!+2!+3!+4!+5!

[capito il *fattoriale*, ragazzi? Se vogliamo scrivere in modo più compatto prodotti del tipo:

1x2; 1x2x3; 1x2x3x4; 1x2x3x4x5; ecc

possiamo scrivere:

1x2=2! (2 fattoriale)   1x2x3=3! (3 fattoriale) = 6    1x2x3x4=4! = 24    1x2x3x4x5=5! = 120 e così via

Il fattoriale di un numero naturale indica il prodotto del numero per tutti i suoi antecedenti - i numeri che lo precedono nella successione naturale]

c) Il numero 153 è uguale alla somma dei cubi delle sue cifre:

1³+ 5³+ 3³= 153

Ci sono soltanto altri tre numeri, oltre a 1 e 153, che sono uguali alla somma dei cubi delle loro cifre: 370, 371 e 407. Queste curiose proprietà appartengono a 153 dalla notte dei tempi e potrebbero dare della matematica quell'idea, sbagliata, che sia una disciplina che tratta cose vecchie quanto il mondo.

E che dire allora di quest'altra meravigliosa proprietà del numero 153, scoperta dal matematico israeliano Phil Kohn nel 1961?

“Il 153 si trova "dormiente" nel 3 e in ogni multiplo di 3.”

Prendete un qualsiasi numero multiplo di tre, sommate i cubi delle sue cifre, poi sommate i cubi delle cifre del risultato ottenuto e così via. Riuscite ad indovinare cosa apparirà alla fine? Facciamo una prova col numero 162:

1³+ 6³+ 2³= 225;

2³+ 2³+ 5³= 141;

1³+ 4³+ 1³=66;

6³+ 6³= 432;

4³+ 3³+ 2³= 99;

9³+ 9³= 1458;

1³+ 4³+ 5³+ 8³= 702;

7³+ 2³= 351

et voila

3³+ 5³+ 1³= 153.

Ed ora, ripetendo l'algoritmo, avremo sempre il numero 153 di Simon Pietro (o dell'evangelista Giovanni).

Il 1961 non è un anno tanto lontano; ci si lamenta spesso che la Storia insegnata nelle nostre scuole si ferma troppo presto e che non tratta gli avvenimenti della seconda metà di questo secolo. Almeno parla della prima guerra mondiale!

E la Matematica? Di che secolo è l'argomento più giovane di matematica studiato dai nostri ragazzi? In certe scuole non ci si ferma che alla fine del '600?

Da una pagina di Mauro Cerasoli: Consigli per amare Matematica.

E da Base cinque la cui pagina contiene tre programmi in Javascript utili per indagare il problema.

In un file Excel le sequenze generate calcolando ripetutamente la somma dei cubi delle cifre di un numero.

Ho utilizzato formule per cui ho dovuto limitare il numero di cifre costituenti i valori da testare e il numero delle sequenze (le formule potrebbero estendersi lungo le colonne. Per noi, ragazzi, è sufficiente il numero di righe predisposto...) 

Clic sull’immagine per scaricare il file

153

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lunedì 5 aprile 2010

Mateureka - Museo del calcolo

 Ragazzi,

un commento di oggi mi spinge a ripetere per voi, sia III, sia I, che ancora non c’eravate... un’interessante segnalazione. Leggete la presentazione sotto l’immagine poi, Clic

image  descrizMuseoCalc

Potete visitare il museo online con il tour virtuale!

Per voi di III: l’excursus storico potrà offrirvi, qualcuno di voi me lo ha già chiesto, degli spunti per la preparazione del colloquio d’esame...

Voi di I: sarete curiosissimi! Godetevi quattro piani di

stanze cliccabili con descrizione degli oggetti e periodi storici.

Ecco qualche immagine

http://www.mateureka.it/tour.html 

http://www.mateureka.it/tour3.html

Mateureka.it - TOUR VIRTUALE MUSEO via kwout

Clic sul link

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sabato 3 aprile 2010

Il folle inquinatore

(Una presentazione moderna e teatrale dell’insieme ternario di Cantor)

Ragazzi,

La storia che stiamo per raccontare ...

è una curiosa storia che vi divertirà anche se, molto probabilmente, non capirete proprio bene bene alcuni passi.

Nessun problema. Vi incoraggio anticipandovi, con filosofia, la conclusione stessa della storia: “Comprenderai quando sarai grande, rispose Paolo (con filosofia), quando gli ostacoli dei tuoi studi, tessuti dalle tue magre conoscenze, si saranno dissolti nella fiducia che ti arriverà dalla frequentazione di discorsi talvolta sorprendenti, ma mai contradditori.

Intanto voi sapete che si può contare su basi diverse da 10 ... e poi avete letto

Le forme della natura e … ancora Frattali.

Dunque:

La storia che stiamo per raccontare ... è una storia lamentevole. Il suo eroe, Giorgio, è uno sventurato irresponsabile marchiato dal suo infame cognome: Lamacchia. Questo essere è pericoloso; ogni volta che vede un segmento pulito, egli ne sporca il terzo centrale. E’ più forte di lui, osservatelo sul segmento [0, 1]: il terzo centrale che ha sporcato ha lunghezza 1/3.

IMAGE0001  Restano  due terzi puliti, direte voi. Ma Lamacchia li ha visti anche lui e eccolo che macchia anche i loro terzi centrali (ciascuno di lunghezza 1/9).

IMAGE0003 Poi si precipita su ognuno dei quattro pezzi restanti (ciascuno di lunghezza 1/27) e versa i suoi miasmi più nauseanti nel bel mezzo della loro lunghezza.

E continua così indefinitamente. Quando si fermerà?

La madre di Lamacchia, Sabina, è assolutamente sgomenta e si dispera agitando le braccia come pale di un mulino:

– Accidenti! niente resterà pulito con questo individuo…

IMAGE0002

Suo fratello, il piccolo Davide, che ci tiene a verificare matematicamente ogni cosa, prende la sua calcolatrice e si mette a calcolare freneticamente. Calcola l’estensione dei disastri, cioè…

$\frac{ 1 }{3 }\,+\, \frac{ 2 }{9 }\,+\, \frac{ 4 }{ 27} \,+\,...\,=\, \frac{ 1 }{ 3} \,(1\,+\, \frac{ 2 }{ 3} \,+\, \frac{ 4 }{ 9} \,+\,...\,)$ 

- Perbacco! , disse, non è altro che la “somma”, a partire da 1, degli infiniti termini di una progressione geometrica di ragione 2/3, ciascuno moltiplicato per 1/3. Bisogna che consulti mio zio.

Lo  zio che ha letto

Costruzione delle potenze di 1/2 [:-)]

gli ricorda che, se a è un numero  compreso tra 0 e 1, allora la somma

$1\,+\,a\,+ \,a^2+\,a^3+\,...\,+a^n+\,...$  vale 1/(1 – a).

- Allora 1/( 1 – ( 2/3)), vale 3/( 3-2) = 3, esattamente 3. Ed 1/3 di 3 fa 1. Catastrofe! La parte sporcata misura 1.

Il  segmento [0,1] tutto intero è sporcato.

Le grida della madre di Giorgio Lamacchia si sentono appena:

- Questo segmento che avevo passato delle ore a pulire, Giorgio, mio figlio, l’ha sporcato completamente. è spaventoso! Che cosa dirà tuo padre?

Il padre Paolo arrivò allora dal lavoro.

Quando vide sua moglie in lacrime e quando lei gli mostrò il segmento che appariva tutto nero ai suoi occhi smarriti, ebbe subito un moto di collera.

Poi osservò più da vicino e si mise a contare sulle dita sorridendo sempre più frequentemente. Per comprendere questa storia bisogna subito dire che, lavorando in una segheria non equipaggiata da sistemi di sicurezza, non gli restavano che tre dita in tutto sulle due mani, motivo per il quale aveva preso l’abitudine di contare in base tre.

IMAGE0004

- Osserva, disse a sua moglie, quali sono esattamente i punti macchiati e come si presenta la scrittura delle loro ascisse in base tre?

-Tu credi di trovare una soluzione, Paolo? domandò lei vedendo apparire sul suo volto un barlume di speranza.

- Certamente, è come la scrittura decimale, ma invece di dividere in dieci parti il segmento per ottenere la prima cifra dello sviluppo decimale (tra 0 e 9), lo si divide in tre parti per avere una cifra da 0 a 2.

Esempi: IMAGE0005

- Vedi, disse l’invalido con solo tre dita, i punti macchiati da Giorgio sono quelli che, in qualche momento della divisione in tre, si trovano in mezzo; sono dunque quelli che, in qualche posizione della loro scrittura in base tre, presentano una cifra “1”.

- Allora, si rallegrò Sabina, tutti i numeri la cui scrittura in base 3 contiene solo degli 0 e dei 2 sono ascisse di punti non macchiati. 0,02020202… per esempio,

e 0,200200200200… anche, e molti altri. Ve ne sono moltissimi, Dio sia lodato!

- Ve ne sono infatti molti più di quanti tu creda, replicò suo marito, un po’ infastidito per il riferimento religioso. E te lo mostrerò con una operazione dolorosa ma efficace. Dammi quel coltello! 

- Ma Paolo che cosa vuoi fare?

- Immagina che io scriva tutte le ascisse non macchiate. Ho bisogno solo di due dita (quello che indica 0 e quello indica 2). Siamo tutti d’accordo!

Con un gesto rabbioso e un po’ irresponsabile si taglia una delle tre dita che gli restano e la getta nella pattumiera.IMAGE0006

- E ora, disse, posso contare solo in base due. Ma questo non mi impedisce di poter scrivere tutti i numeri del segmento (basta che io divida per due, invece che per dieci o per tre).

E ogni volta che scrivo un numero con le mie due dita, tu puoi riconoscervi l’ascissa di due punti secondo il modo in cui interpreti la scrittura:

1) se pensi che si tratti di una scrittura in base due, otterrai tutti i punti del segmento;

2) se pensi che si tratti di una scrittura in base tre, otterrai tutti i punti non macchiati da tuo figlio.

Vedi che l’insieme dei punti non macchiati ha la potenza dell’insieme dei punti del segmento? Concludendo, è come se tuo figlio non avesse fatto nulla. Abbracciami, Sabina!

La povera donna guardò il segmento e lo vide allora tutto bianco, con gli occhi della fede in Cantor.

Si domandò se non stesse sognando ma suo marito aveva l’aria talmente sicura di se che preferì chiudere gli occhi e carezzare la testa di Giorgio che si soffiava il naso nella sua veste.

Il piccolo Davide restò tuttavia pensieroso e interrogò suo padre:

- Malgrado tutto, papà, sono un po’ sorpreso. Ad un insieme di lunghezza 1, sembrerebbe che si possa togliere una parte i cui pezzi messi uno di seguito all’altro abbiano ancora lunghezza 1. E ciò che resta non è il nulla, ma questo assomiglia come una goccia d’acqua all’insieme da cui siamo partiti, tutto intero. Allora è come se non avessimo tolto nulla? E’ difficile da comprendere.

- Comprenderai quando sarai grande, rispose Paolo con filosofia, ... ... ... ... ...

Storia e immagini sono tratte da

Addomesticare l’infinito A. Deledicq – F. Casiro - Edizioni Kangourou Italia

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venerdì 2 aprile 2010

giovedì 1 aprile 2010

Ripasso-vacanze per la prima e… curiosità!

 Ragazzi,

Ho scordato di segnalarvi la pagina qui sotto.  Lo vedete, c’è un Excel da scaricare, che calcola quanti e quali sono i divisori di un numero (con formule eh, non con VB! Se sproteggete i fogli di lavoro potete vederle anche se per il momento, per voi sono un po’ complesse). E soprattutto un’interessante curiosità! Cliic, divertitevi!http://matematicamedie.blogspot.com/2007/08/divisori-in-excel-e-numeri-amicabili.html

Vi segnalo inoltre qualche pag web per esercitarvi sulla divisibilità.

Da QUESTA PAGINA:

Schede di lavoro sulla divisibilità: x2, x3, x5, x7, x11 

Ancora, esercitatevi on line sui Criteri di divisibilità: potete verificare le vostre risposte.

E, un test su Divisibilità e fattorizzazione, sempre con verifica_risposte.

Buon lavoro e Buona Pasqua! :-)

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