venerdì 31 dicembre 2010

Champagne

... ce lo offre Bea!

Dice, prof, ma neppure un brindisi??? Sorriso

Clic su immagine ... per le bollicine!

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Brava, Bea. Cin Cin, Buon Anno, bella! Buon Anno, ragazzi,

Buon Anno... mondo!

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giovedì 30 dicembre 2010

2011

2 0 1 1

2011

Questo e molto altro su 2011

Più gli anniversari

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Buon  2011      a  t u t t i !

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Obolo sul foglio elettronico!

Per risolvere la questione

(come riportano i commenti) i ragazzi hanno utilizzato il foglio elettronico.

Davide D. mi ha inviato le sue diverse prove, ha imparato meglio l’utilizzo del foglio stesso (impostare formule con riferimenti), fino a che non ha creato la versione più chiara dice lui! Ecco l’immagine. Ho evidenziato le formule per ... gli altri!

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--- Scordavo però:

Non avendo a disposizione il foglio elettronico, come si sarebbe potuti arrivare alla soluzione?

Volendo esprimere la soluzione stessa sotto forma di potenza, fino a quale potenza di 2 sarebbe stato sufficiente calcolare?

- riflettete bene prima di rispondere, giustificate la vostra risposta!

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martedì 28 dicembre 2010

Da (e per) “Eccellere in matematica”!

Ragazzi (I e II),

imageVi propongo ancora un paio di giochi matematici tratti dal libro Eccellere in matematica del Prof. Luigi Boscaino.

In questo post il primo gioco

Un obolo modesto

Il sacerdote di un piccolo comune della valle vitulanese (il nome da Vitulano, un comune in provincia di Benevento) ritiene urgente un intervento di recupero dell’antica chiesa del paese. Da una consulenza tecnica preventiva si stima che per riportare la struttura agli antichi splendori occorre investire un milione di euro.

Il sacerdote esorta i fedeli della sua Parrocchia a far si che non vada perduto il patrimonio artistico della chiesetta.

Un collega sacerdote gli suggerisce una strategia ... :

- il parroco faccia un’offerta iniziale di 2 euro per dare l’esempio;

- chieda successivamente ai suoi parrocchiani di lasciare un obolo pari alla somma presente in chiesa.

La proposta viene accolta da molti cittadini e così il primo fedele lascia 2 euro (cifra precedentemente offerta dal sacerdote), il secondo 4 euro (2 del sacerdote più 2 del primo fedele), il terzo 8 e cosi via.

È riuscito un paese di soli 1000 abitanti a far fronte all’impegno? Quale numero di fedeli consente di raggiungere il milione di euro?

Ragazzi, la “strategia” del sacerdote, vi è un po’ matematicamente familiare, vero? Ragionate, fate uno schema di calcolo, riconoscete ... . Proponete il problema anche ai vostri genitori o fratell(oni), così vi divertite di più!Sorriso

Attenzione: non è detto che il calcolo consenta di ottenere esattamente 1.000.000 di euro. Può essere appena superiore!

Aspetto soluzioni, se possibile ... commenti! Sorriso

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giovedì 23 dicembre 2010

Scoprire perché ...

Una nostra lezione, va! Sorriso

.... anche perché all’ultima parte qualcuno era assente.

Si è parlato di proprietà delle potenze. 

Le potenze sono numeri: 3^2 è un numero, lo so che si pensa come 9, 3^9 è un numero non importa quanto valga, so che è un numero e che è un numero grande! Questa è la potenza ...delle potenze! Esprimere numeri grandi e grandissimi (e piccolissimi) in maniera breve, sintetica! Lo avete detto anche voi, ragazzi: la forza delle potenze!

E con i numeri si fanno dei calcoli!

A volte i calcoli con le potenze si possono fare usando delle scorciatoie: le chiamiamo proprietà delle potenze.

Un caso: moltiplichiamo due o più potenze con la stessa base e diverso esponente.

Ah, qualcuno ha già letto sul libro... eh, a volte non vorrei, ma bene i curiosi ...

e ricorda che: basta sommare gli esponenti e tenere la stessa base!

Ma... la prof non capisce il perché!

3^4 * 3^2 = ??

Via le ipotesi! Diversi i tentativi, ma no scorciatoie! Triste

Fino a che Andrea F. viene a scrivere:

3 x 3 x 3 x 3   poi... - dice lui – : 3 x 3

- ma scusa, che c’è tra 3^4 e 3^2 ??

aah, c’è x (per) !

Allora:

3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3!

Ah, allora..

3^6

Ecco perché basta sommare gli esponenti !

3^4 * 3^2 = 3^(4+2) = 3^6

oh, ecco: mica noi prendiamo solo per oro colato!Sorriso

E’ la volta di: dividere due potenze con la stessa base e diverso esponente.

- Aah.. facile! Se per moltiplicare sommo gli esponenti allora per dividere sottraggo gli esponenti perché la divisione è l’inversa della moltiplicazione e la sottrazione .....

Ma... la prof come al solito non è troppo convinta!

Dunque:

3^4 : 3^2 = ??

Stavolta impieghiamo un po’ più di tempo, ma Davide P. poi propone:

- facciamo la divisione per gruppi. Così:

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9 x 9 : 9 =

9 x 1 = 9

Bella l’idea di Davide!

Ma, due osservazioni:

- l’operazione con le potenze ha per risultato una potenza,

- forse possiamo evitare di moltiplicare... perché se avessimo: 27 ^4 : 27^2 .... mmmh che fatica! [poltroni!Sorriso]

Quindi, perché non dividere per gruppi da *un solo fattore* ?

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1 x 1  x ....

oo (sempre i bambini che fanno ooh) bisognerebbe pareggiare i fattori! A sinistra ne ho 4 a destra solo 2 !

Problema: come pareggiare i fattori??

Ma si, ma si... noi sappiamo delle cose.... Sorriso

Ah, si dice: utilizzare informazioni!

Ancora Davide, in formissima, dice:

- ma aggiungiamo a destra due 1!

e segue il brusio:

- tanto è l’elemento neutro della moltiplicazione!

Perciò:

image

1 x 1 x 3 x 3 = 3 ^2

Anche stavolta siamo più convinti: ecco perché basta sottrarre gli esponenti !

3^4 : 3^2 = 3^(4-2) = 3^2

Mica finisce qui:

Igor pone il problema: se divido una potenza con esponente più piccolo per una con esponente più grande... siccome non è commutativa... (bene bene ... il linguaggio già va....)

- Certo! Facciamo ugualmente la sottrazione fra gli esponenti e, Igor calcola l’esponente negativo e .... così ci siamo avviati a scoprire la potenza delle potenze per esprimere i numeri piccoli e piccolissimi!

Ragazzi, i link che vi ho promesso (vedete con calma, un po’ alla volta):

Ancora dall'Antico Egitto

... questa volta le potenze!

[Per la classe prima]Approfondire le potenze!

Dai compagni che vi hanno preceduto ...

Il comportamento delle potenze nelle 4 operazioni
A proposito di potenze ...
Potenze di 10

Mi raccomando sull’ultimo link i due video, uno sul blog, l’altro segnalato. Da non perdere!

Buone vacanze ancora! ... ma attivi! Occhiolino

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martedì 21 dicembre 2010

Storia delle macchine da calcolo_2

Per dire...

regali di Natale arrivano al blog! Sorriso

Il mio amico Paolo mi invia la seconda parte del suo contributo

Storia delle macchine da calcolo

E dopo le macchine manuali ecco le

Macchine meccaniche

clip_image002Storicamente, l’introduzione dell’uso delle macchine calcolatrici meccaniche viene fatto risalire al 1644, quando il filosofo e matematico francese Blaise Pascal inventò la Pascaline, una macchina calcolatrice per consentire a suo padre, un esattore delle tasse, di effettuare i noiosi e ripetitivi calcoli che il suo lavoro gli imponeva. Aveva allora 21 anni!

Questa macchina era composta da una serie di ruote dentate indicanti le unità, le decine, le centinaia e così via, e ognuna era divisa in dieci settori, dallo 0 al 9, corrispondenti alle cifre del sistema decimale. Nella versione finanziaria le prime ruote a destra avevano un numero di settori diverso.

[Piccola integrazione, Paolo] - Ho trovato in rete un esempio del metodo per effettuare le sottrazioni con la pascalina attraverso la somma di numeri complemento (il complemento è ciò che manca ad un numero per fare l'unità, la decina ecc.):
Eseguiamo la seguente sottrazione:

 5 – 3

Poiché il complemento del numero 3 è 7 (10-3=7)

possiamo sommare

5 + 7 = 12

che senza il riporto da 2

che è come dire:

5 - 3 = 5 + 7 – 10

ma anche:

5 - 3 = 5 + (7-10)

e quindi:

5 - 3 = 5 + (-3)

Si può, perciò, affermare che la pascalina faceva le sottrazioni come somma di numeri negativi utilizzando il metodo del complemento a dieci del sottraendo.
Naturalmente l'operatore non doveva calcolare il complemento e poi eseguire una addizione, ma era la macchina stessa, attraverso il procedimento per la sottrazione, ad eseguire questo calcolo.
(a cura di Enzo Piersigilli in collaborazione con Annamaria Viceconte)

clip_image002[4]In realtà, vi furono anche alcuni precedenti tentativi che però non trovarono pratica applicazione. E’ solo da qualche decennio che si sa che il grande Leonardo Da Vinci (e come poteva essere altrimenti!) avrebbe abbozzato un progetto di una macchina simile a quella di Pascal.

Nel 1623, quindi circa 20 anni prima di Pascal, l’eclettico scienziato tedesco Wilhelm Schickard, clip_image002[6]mise a punto il progetto di una macchina che, per molti versi, era superiore alla Pascaline. Col nome di Orologio Calcolatore, in quanto applicava la tecnologia meccanica degli orologi, essa poteva eseguire in modo più agevole le sottrazioni, inoltre, poteva sommare e sottrarre numeri fino a sei cifre. Per aiutare nelle operazioni di moltiplicazione e divisione, sopra l'addizionatrice erano collocati dei cilindri ruotanti che costituivano un'interessante variante dei bastoncini di Nepero. Purtroppo il prototipo della macchina venne distrutto in un incendio e solo nel 1960, sulla base dei progetti originali, se ne poté costruire una funzionante.

clip_image002[8]Nel 1673 lo scienziato Gottfried Leibniz costruì una macchina calcolatrice che per le sue caratteristiche innovative fu esposta alla Royal Society di Londra. E' interessante citare quanto Leibniz scrisse nel 1671: "non è conveniente che uomini eccellenti perdano, come schiavi, ore di lavoro per calcoli che potrebbero essere affidati a chiunque altro se si utilizzassero delle macchine". Certo non aveva torto, però occorreva costruirle le macchine, e lui ci si mise d’impegno! Questa macchina, a differenza delle precedenti che erano delle semplici addizionatrici, era in grado di moltiplicare e dividere. Purtroppo la geniale invenzione non ebbe immediata applicazione a causa delle difficoltà costruttive, all'epoca insormontabili.

Infatti, solo nel 1820 il francese Xavier Thomas de Colmar riuscì a produrre l'Aritmometro su progetto quasi identico a quello di Leibniz. Era un dispositivo a clip_image002pignoni dentati che eseguiva moltiplicazioni e divisioni e che poteva eseguire le quattro operazioni in maniera quasi automatica, un contagiri sull'asse delle unità registrava il numero di addizioni, per poi eseguire la moltiplicazione, e un sistema a cremagliera consentiva l'azzeramento dei contatori alla fine delle operazioni; tuttavia le divisioni necessitavano ancora dell' intervento logico dell' utente. Per la sua praticità fu la prima calcolatrice che ebbe un successo commerciale; infatti tra il 1820 e il 1890 ne furono prodotte alcune migliaia di esemplari. La macchina ottenne una medaglia d'oro all'esposizione di Parigi del 1855.

clip_image002[10]Nel 1821, Charles Babbage, chiamato anche “il padre del computer”, professore di matematica all'università di Cambridge ed esperto di costruzioni ferroviarie, inventò la Macchina Alle Differenze, antesignana dei moderni calcolatori. Essa basava i suoi calcoli sul principio dei Numeri Triangolari.

Qui ne è magistralmente spiegato il funzionamento: http://www.ulisse.bs.it/museo/storia/babbage/differenze.htm

La macchina inventata da de Colmar aveva conosciuto un successo ininterrotto per parecchie decine di anni, finché il progresso nelle tecniche di fabbricazione permise di ottenere rendimenti migliori. Alla fine del XIX secolo vi fu una vera esplosione di innovazioni in materia di macchine da ufficio. Tutti si orientarono verso una maggiore facilità d'uso, grazie all'impulso dato all'automazione: si trattava di ridurre tutte le operazioni intermedie che potevano ancora sussistere tra l'azione di introdurre le cifre e il conseguimento del risultato dell'operazione.

Nel 1872, Frank Stephen Baldwin elaborò, negli Stati Uniti, una specie di meccanismo interno; nel 1889, il francese Léon Bollée elaborò una macchina che disponeva di una tabella di moltiplicazione interna.

Altri nomi di inventori sono ugualmente celebri: gli americani Door E. Felt e Williams S. Burroughs contribuirono a costruire un vasto mercato per le calcolatrici.

clip_image002[12]Felt adattò alle calcolatrici il principio della tastiera, che cominciava a essere utilizzato nelle macchine per scrivere. La sua, chiamata il Contometro, presentava infatti dei tasti che corrispondevano a cifre, là dove, tradizionalmente, c'erano sempre state delle ruote da far girare o dei cursori da spostare.

Una nuova generazione di macchine calcolatrici prese il via quando l’inventore svedese clip_image002[14]Willgodt T. Odhner nel 1873 produsse un prototipo basato sul principio dell’Aritmometro di de Colmar e chiamato infatti Aritmometro di Odhner.

clip_image004Era una macchina a dischi rotanti che incorporavano 10 denti mobili rappresentanti le cifre da 0 a 9 e che consentiva di effettuare le quattro operazioni matematiche. Odhner ne iniziò la produzione commerciale in Russia nel 1890 per terminarla nel 1917 quando gli stabilimenti chiusero a causa della Rivoluzione d’Ottobre. Fino ad allora ne furono prodotti 23.000 esemplari.

Questa macchina, poi semplificata e migliorata, fu prodotta da molti altri produttori fino al 1960 quando venne sostituita da più moderne macchine elettriche e, più tardi, elettroniche.

Riferimenti.

http://www.edixxon.com/computerstory/storia/pgn_1000_104.html

http://web.unife.it/altro/tesi/A.Montanari/computer.htm

http://www.ulisse.bs.it/museo/storia/linea.htm

http://www.marzi.info/italiano/DIARIO%20DI%20BORDO/EVOLUZIONE/evoluzione%20dei%20strumenti%20e%20dei%20metodi%20di%20calcolo.htm

Grazie infinite, Pa’, per questa seconda puntata! Occhiolino

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lunedì 20 dicembre 2010

Grafici a dispersione con Excel

Sempre più interessanti

le produzioni Excel del mio amico Roberto!

Tutti da esplorare i

Grafici a dispersione con Excel

Circonferenza, ellisse, spirale archimedea, spirale iperbolica, sinusoide, onda, pianeti in movimento, ingranaggi e bersagli, ruote dentate, triangoli ...

Ragazzi, c’è da divertirsi con Pianeti, Ingranaggi e ruote dentate ...

Riporto il sommario

E alcune immagini. Disponibili tutti i file da scaricare.

Studio delle coniche

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Pianeti

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Ingranaggi e ruote dentate

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Triangolo

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Ai ragazzi di II in particolare, raccomando i due file sui triangoli: triangolo_dati_i_lati.xls (prima img, ): digitando le misure dei tre lati (dati variabili) ....

tutto didattico con grafico a dispersione denso di dettagli (costruzione col compasso, e semicerchio ad evidenziare gli angoli). Troverete poi tutte le formule necessarie per ricavare i lati, gli angoli e l'area (formula di Erone compresa!)

E anche triangolo_dati_i_lati_2_nomi.xls (seconda img).

grazie Robb!Sorriso

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domenica 19 dicembre 2010

[Tutoriali] E va bene: aiutino...!

Ragazzi (I)

Bene per chi ha trovato

Matematica e ... Dante

(così chi no ...clicchi!)

E per quanto riguarda ’l doppiar de li scacchi, per chi ha provato ad usare la funzione RIF.RIGA() di Excel per ottenere la successione dei numeri naturali e per chi no ...

occorre un piccolo aiuto!

Seguite il filmatino-guida. Naturalmente il lavoro può essere fatto anche con Calc di Open Office.

Nota:

sul video noterete che sulla Barra della formula visualizzo i risultati di porzioni di formula. Per fare questo, sulla stessa Barra della formula si seleziona la porzione (e questo si vede nel filmato) poi si preme il tasto F9. Per tornare indietro, senza cancellare la formula, si preme il tasto Esc.

Ora clic sull’immagine per vedere come si fa ....!

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Voi dovrete arrivare ai circa 18,5 miliardi di miliardi di ... chicchi di grano!

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Effetto caleidoscopio

Ragazzi,

finalmente sono riuscita a modificare il video per aggiungere le immagini di Igor !

... e la musica è diventata ormai natalizia! Sorriso

Aggiungo le immagini di Davide D. arrivate fuori tempo massimo. Modificare ancora il video: impresa troppo ardua! Triste
 
caleidoscopioDD    caleidoscopioDD2caleidoscopioDD4 (2)    caleidoscopioDD4 (1)

Bravi tutti per aver realizzato il lavoro con geogebra! Davì ha realizzato una “variante” suddividendo l’angolo giro in 5 parti....

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mercoledì 15 dicembre 2010

Ricreazioni...

Questo pomeriggio in prima

abbiamo giocato con

I quattro quattro

I ragazzi non hanno ancora visto né post, né .... girotondo delle combinazioni.

Cliccate ora sul link, ragazzi, trovate e l’applet geogebra e ... filmato con canzoncina! Sorriso

Ecco dunque le soluzioni di (in ordine sparso e, non separo le soluzioni per nome. Siete stati bravi tutti, questo conta! Leggete tutte le soluzioni così vedete come hanno risolto i compagni; controllate se ne ho scordato qualcuna! I doppioni scritti solo una volta, doppioni sono considerate anche le soluzioni con parentesi inutili ...):

Stefano, Nanni, Igor, Davì, Davide P., Beatrice, Rita, Andrea F., Luca, Giuseppe P., Sara, Claudia, Daniele, Marco N., Marco D.

La consegna era: ottenere utilizzando 4 volte la cifra 4,  le cifre del sistema decimale, dunque 0-9

La cifra 0

  • (4+4)-(4+4)
  • [(4-4)+4]-4
  • 4*4: 4 – 4
  • 4-4*4:4
  • (4*4)-(4*4)
  • $4^4-4^4$
  • 44-44
  • 4-(4+4-4)

La cifra 1

  • 44:44
  • (4+4):(4+4)
  • (4-4)+4:4
  • [4+(4-4)]:4
  • $4^4:4^4$
  • 4:4+4-4
  • 4+(4:4)-4
  • 4:4*4:4

La cifra 2

  • 4:4+4:4
  • (4*4):(4+4)
  • 4-[(4+4):4]

La cifra 3

  • (4+4+4):4
  • (4*4-4):4

La cifra 4

  • 4*(4-4)+4   
  • (4-4)*4+4
  • (4-4):4+4

La cifra 5

  • (4*4+4):4
  • (4+4*4):4

La cifra 6

  • 4+(4+4):4  
  • (4+4):4+4

La cifra 7

  • (4+4)-4:4
  • 44:4-4

La cifra 8

  • 4:4*(4+4)  
  • 4:4*4+4    
  • 4*4:4+4
  • 4+4-4+4  
  • 4+4+4-4
  • 4*4-4-4
  • [(4+4)*4]:4
  • (4+4):4*4
  • 4-4+4+4

La cifra 9

  • (4+4)+4:4    
  • 4:4+4+4
  • 4+4:4+4

Poi, qualcuno ha ottenuto il

numero 10

(44-4):4

numero 15

4*4-4:4

numero 16

4+4+4+4

numero 24

4*4+4+4

il numero 36

44-4-4

numero 20

(4+4:4)*4

[Aggiornamento]

Daniele oggi (16-12) alla prima ora mi chiede se si può giocare con 3 tre: - ma certo, si può giocare sempre con i numeri! Bravo Dani per l’idea!

All’ultima ora mi raggiunge in seconda e mi consegna il foglietto con il gioco dei:

tre tre e dei

cinque cinque

- Li ho fatti all’ora della ricreazione!

Daniele ha trovato delle belle soluzioni per le cifre da 0 a 9 sia con i 3 tre, sia con i 5 cinque. Bravo!

Non le scriviamo Dani, così chi è curioso si dà da fare! Sorriso

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lunedì 13 dicembre 2010

Formula di Erone con Geogebra

II - seconda! Sorriso

In attesa di vostri “progetti” e segnalati sulla sidebar  giochi e attività sull’equivalenza-equicomposizione-scomposizione di figure piane,

vi mostro una formula alternativa per il calcolo dell’area di un triangolo, conosciuta la misura dei suoi lati.

Stavolta con Geogebra (vedete un po’ il testo dinamico, seppure un po’ più complesso di altri, ma analizzandolo con calma...). Qui sul blog se ne è parlato con altri alunni, e con una realizzazione Excel (che si può scaricare).

 Compito: leggere

La formula di Erone

Poi, clic su immagine per verificare con Geogebra

image

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