lunedì 30 marzo 2009

Animazioni poliedri platonici

QUI abbiamo visto l'animazione del dodecaedro;
vediamo ora il tetraedro:

Photobucket
L'ottaedro
Photobucket
l'icosaedro
icosaedro
No, neppure queste sono "nostre": dovremmo davvero darci da fare per realizzare le gif!:-(
Sono immagini esportate da un software, Poly, che anima la costruzione di diversi poliedri: i solidi platonici, i solidi archimedei, prismi e antiprismi, solidi catalani, ecc.
Il sito da cui si può scaricare QUI, sezione Downloads.

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domenica 29 marzo 2009

sabato 28 marzo 2009

I poliedri regolari

Ragazzi, guardate:

Photobucket
tempo fa lo ha regalato al nostro blog maestra Maria Giovanna (Mgio', ritoccato eh?-grazie!)
E, per saperne di più sui poliedri regolari di cui abbiamo parlato stamane ...
Per cominciare vi segnalo una pagina:
Modelli dei 5 poliedri platonici
è un laboratorio di matematica ricreativa dove sono presentati i solidi platonici, le loro principali proprietà, la formula di Eulero che mette in relazione facce, vertici e spigoli.
Sarete guidati inoltre, con tanto di materiali da stampare e ritagliare, alla costruzione su cartoncino dei 5 poliedri. Davvero una bella e divertente pagina!

Mi è piaciuta molto quest'altra:
in cui si legge:
nel Timeo di Platone, di poco successivo a Pitagora, troviamo una descrizione precisa dei 5 corpi regolari, cioé dei possibili solidi sfaccettati che abbiano le facce, gli spigoli e gli angoli, uguali tra loro. Platone userà questa straordinaria scoperta come simbologia dell'universo e dei suoi elementi base: il fuoco (tetraedro), la terra (cubo), l'aria (ottaedro) e l'acqua (l'icosaedro).
Il quinto poliedro regolare, il dodecaedro, era a simboleggiare la quinta essenza che tutto avvolge e comprende. La metafora ha un qualche senso matematico dato che è possibile dimostrare che l'unico poliedro regolare nel quale sia possibile inscrivere gli altri 4 è il dodecaedro.
Questa tradizione neo-platonica resterà viva fino a Keplero che credette di poter descrivere i moti dei pianeti in termini di poliedri e loro reciproche inclusioni.

L'applet Polyhedra realizzato da Gian Marco Todesco e pubblicato sul CD Divina Proporzione, il Trattato di Luca Pacioli con i disegni di Leonardo da Vinci e il libello di Piero della Francesca, edizione Hochfeiler, permette di visualizzare in modo interattivo le possibili inclusioni di un poliedro regolare in un altro.
http://www.mat.uniroma2.it/~ghione/Testi/Storia/Poliedri/polie.html

continuate l'interessante lettura cliccando sul link....
E ancora dalla stessa pagina una delle belle immagini (cliccando sulle quali appare una animazione che descrive la costruzione del poliedro passo a passo)

i 5 corpi regolari disegnati da Leonardo da Vinci per illustrare il bellissimo manoscritto di Luca Pacioli De divina proportione (1498). (le altre sul sito...)

[AGGIORNAMENTO - 02/01/2010]  Sul blog di Popinga

Il manoscritto di Milano del «De Divina Proportione»

Da una copia della ristampa anastatica del manoscritto conservato all’Ambrosiana di Milano, Popinga riferisce i contenuti dell’opera originale, arricchita dalle rappresentazioni dei solidi platonici realizzate da Leonardo da Vinci. Straordinaria presentazione della figura di Luca Pacioli, i particolari del manoscritto, "Divina è quella proporzione, che oggi si chiama sezione aurea [...] produce, secondo il Pacioli, infiniti “effetti”, ma per brevità il trattato ne considera solo tredici, infatti “per la salute dell'anima, l'elenco va terminato”, in quanto tredici furono i commensali dell'Ultima Cena.", "Dopo aver dimostrato che i solidi regolari “essenziali” non possono essere più di cinque [...] il Pacioli passa a trattare il modo di costruire questi corpi"  Béh, non perdetevi la lettura!

E poi, le animazioni con Excel, del mio (del nostro blog anche, ormai!) amico Fernando di cui vi ho detto. Cliccando sull'immagine qui sotto scaricherete un primo file: 3dwire.xls


Sul file potrete animare l'immagine ... (leggete sotto le indicazioni)
Sul foglio di lavoro troverete anche i link per scaricare altri file.
Vi raccomando questo (clic e scaricate)
Come utilizzare i file:
All'apertura vi può essere richiesto di attivare le macro, quindi clic su "Attiva macro"
Per far partire le animazioni dovete premere sul pulsante Spin, per fermare premete il tasto Esc sulla tastiera.
Per inserire un'immagine sulle facce dei poliedri (sull'icosaedro potrebbe rallentare un bel po' l'animazione...):
- clic con il destro su una faccia;
- scegliere dal menu: Formato forme;
- Scheda Colori e linee: Riempimento
- Clic sul menu Colore,
- scegliere Effetti di riempimento, scheda Immagine, Seleziona immagine (dal tuo PC), Inserisci, Ok!
buon divertimento!:-)
PS: sui *commenti* c'è una bella integrazione di Pier Luigi Zanata. [Platone:''Non entri chi non e' geometra'']. Leggete!

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venerdì 27 marzo 2009

La versiera di Agnesi

Al mio amico Paolo dico che ho deciso di tirar fuori... una diavoleria!:-) Si tratta di una curva studiata da Fermat nel 1630 e poi da Guido Grandi nel 1703 e da Maria Gaetana Agnesi (matematico italiano (1718-1799); qui sul blog se ne è parlato in: "Passione al femminile...") nel 1748.
Versiera, in italiano sarebbe "diavolessa"
Come si spiega questa "diavoleria":
secondo Loria, versiera deriva dal latino versoria, "corda della vela usata per virare", dal verbo vertere, "girare"; questo nome è stato dato da Grandi, dall'espressione latina: sinus versus (seno verso, inverso del seno).
La curva è nota in inglese con il termine Agnesis's witch, la strega dell'Agnesi: il significato originario di "girare" si è trasformato in strega, probabilmente per un errore del traduttore che confuse la versiera con l'avversiera, ossia la moglie del diavolo, la strega dunque.
Questa l'immagine, realizzata con geogebra (clic su di essa per aprire il file)


La curva ha equazione: $y\,=\,\frac{ a^3 }{ a^2+x^2}$
E' anche il luogo geometrico descritto dal punto F in figura, così ottenuto:
si consideri una circonferenza ed un suo punto A; si tracci la tangente alla circonferenza in A;
dall'origine degli assi cartesiani si fa uscire la semiretta b che interseca la circonferenza nel punto D e la tangente in E;
si traccia per il punto D la parallela alla tangente e
la perpendicolare passante per il punto E: queste due rette si intersecano nel punto F.
Al variare della semiretta b il punto F descrive la versiera di Agnesi.
Sul foglio di lavoro si muova il punto B ...

 [Aggiornamento]
Versiera di Agnesi con Excel!

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mercoledì 25 marzo 2009

La saliera di Archimede

E ancora una curva celebre...
Il salinon di Archimede
che è stato tradotto come "saliera".... clic su immagine per aprire il foglio geogebra


Anche questa costruzione non è difficile:
- sul diametro AB di una circonferenza si fissano 2 punti C e D equidistanti da A e B;
- si costruiscono 3 semicirconferenze di diametro rispettivamente AB, AC, e DB le prime due da una parte e la semicirconferenza di diametro CD dalla parte opposta rispetto al diametro AB.
La saliera è la figura delimitata dalle quattro semicirconferenze.
Il suo perimetro è uguale alla lunghezza della circonferenza di diametro AB;
la sua area dipende dalla lunghezza del segmento CD: infatti la saliera è equivalente al cerchio di diametro EF.
Si muova il punto C per seguire la proprietà...
Chi era Archimede?
(ragazzi, ho sempre rinviato un post sul personaggio. Per ora leggete questo...)
"Archimede possedette uno spirito così elevato, un’anima così profonda e un patrimonio così grande di cognizioni scientifiche, che non volle lasciare per iscritto nulla di quelle cose, cui pure doveva un nome e la fama di una facoltà comprensiva non umana, ma pressoché divina. Persuaso che l’attività di uno che costruisce delle macchine, come di qualsiasi altra arte che si rivolge ad un’utilità immediata, è ignobile e grossolana, rivolse le sue cure più ambiziose soltanto a studi la cui bellezza ed astrazione non sono contaminate da esigenze di ordine materiale. E i suoi studi non ammettono confronti con nessun altro. […] Non c’è dunque ragione di credere a quanto si dice di Archimede, e cioè che viveva continuamente incantato da questa che potremmo chiamare una Sirena a lui familiare e domestica, al punto da scordarsi persino di mangiare e di curare il proprio corpo. Spesso, quando i servitori lo trascinavano a viva forza nel bagno per lavarlo ed ungerlo, egli disegnava sulla cenere della stufa alcune figure geometriche; e appena lo avevano spalmato di olio, tracciava sulle proprie membra delle linee col dito, tanto lo dominava il diletto ed era prigioniero, veramente delle Muse.
Molte e mirabili furono le scoperte che egli fece; ma sulla tomba pregò, si dice, gli amici e i parenti di mettergli, dopo morto, un cilindro con dentro una sfera, e quale iscrizione la proporzione dell’eccedenza del solido contenente rispetto al contenuto."
(Plutarco, Vita di Marcello,14-17)
... da qui

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martedì 24 marzo 2009

La media ponderata

Nei nostri post sull'utilizzo di excel per la statistica, fra gli indici di posizione, abbiamo parlato di Media aritmetica.
E' la media così come viene intesa comunemente, la media aritmetica semplice.
E' uno dei valori medi, cioè dei valori che danno un'idea di come si presenta complessivamente un certo fenomeno.
Spesso nel calcolo della media occorre tenere conto, oltre che dei singoli valori, del numero di volte in cui i valori stessi figurano nei dati raccolti, cioè della frequenza.
Si tiene conto quindi del peso che ha ciascun valore, di quanto esso singolarmente incide sui dati globali.
Si parla perciò di media ponderata (dal latino pondus, che vuol dire appunto peso).
Per calcolare la media ponderata:
- si moltiplica ciascun valore per il relativo peso, cioè per la frequenza;
- si sommano i prodotti ottenuti;
- si divide quindi per la somma delle frequenze.
Per avere una formula generale, indichiamo con x1, x2, x3, ... xn i valori, con f1, f2, f3, ... fn le relative frequenze. Avremo:
Mponderata = (x1*f1 + x2*f2 + x3*f3 + ... xn* fn) / (f1+ f2+f3+ ... fn).
Per comprendere ancora meglio è bene servirsi di un esempio.
Ragazzi, riporto (per intero) giusto uno dei quesiti della prova nazionale Invalsi, dell'esame di terza media - Anno Scolastico 2007 – 2008.
In un’indagine sul numero di gelati consumati a Ferragosto sono state intervistate 100 persone. La seguente tabella registra le risposte.


a) Quanti intervistati hanno mangiato almeno 2 gelati?
A. 15
B. 17
C. 21
D. 38
b) Qual è la media dei gelati mangiati dagli intervistati?
Risposta _________
Scrivi il procedimento che hai seguito.
Devo aiutarvi? Ma no ... so che siete in grado di risolvere.
Integrerei solo, visto che ho ricordato Excel per la Statistica, con la formula da utilizzare per il calcolo della media ponderata.
Nell'intervallo A2:A7 il Numero gelati,
in B2:B7 il Numero persone (le frequenze)
In C1 (o dove si preferisce), la formula:
=MATR.SOMMA.PRODOTTO((A2:A7)*(B2:B7))/SOMMA(B2:B7)
La prima parte, MATR.SOMMA.PRODOTTO, lo suggerisce il nome della funzione, somma i prodotti delle matrici (più preciso, vettori)A2:A7 e B2:B7, cioè esegue nell'ordine: A2*B2, A3*B3, A4*B4 ecc... e somma tali prodotti.
La somma dei prodotti è quindi divisa per la somma delle frequenze (SOMMA(B2:B7)).

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lunedì 23 marzo 2009

Poligoni stellati

Oggi ... stelle!


Questa è fatta con Geogebra:
con le diagonali opportune si congiungono i 12 vertici di un dodecagono regolare.
Un'altra stella:

Altre QUI

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domenica 22 marzo 2009

Case, pozzi, strade, ponti...

Direttamente da Splash ragazzi
(ragazzi, provate a sfidare in questo problema gli alunni della scuola primaria di maestra Renata!)
Vi ricordate quando lo scorso anno vi ho proposto il problema delle case e dei pozzi?


Dovevate cercare di collegare con delle strade ciascuna casa a ciascuno dei tre pozzi senza che le strade si intersecassero fra loro.
È stata dura! Infatti non ci siete proprio riusciti. Qualcuno di voi ci ha riprovato anche quest'anno.

Attenzione, vi propongo un altro quesito (famoso): il problema dei sette ponti di Königsberg.
È un problema ispirato da una città che un tempo si chiamava Königsberg. Ora è chiamata Kaliningrad e si trova in Russia.

Guardate la mappa:

Continuate a leggere cliccando sull'immagine.
Grazie Renata!:-)

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sabato 21 marzo 2009

La drepanoide

Dopo la pelecoide, ancora un'altra curva celebre dal nome curioso che, come la pelecoide, si ispira ad utensili della vita dei campi:

la drepanoide
Il nome, dal greco, significa "a forma di falce". Clic sull'immagine per aprire il foglio di lavoro Geogebra


Si può scaricare il file.ggb
Osservando la figura possiamo anche dire che si tratta di un triangolo curvilineo: il perimetro della drepanoide è costituito da due archi di circonferenza e una semicirconferenza.
La costruzione è molto semplice: si tracciano due circonferenze uguali tangenti esternamente.
Dai rispettivi centri si tracciano due raggi, AD e BC, paralleli e si uniscono gli estremi di questi sulle due circonferenze.
Si traccia poi una terza circonferenza che ha per diametro il segmento DC.
Si costruiscono quindi gli archi e la semicirconferenza come in figura: ne risulta un triangolo a lati curvilinei che costituisce il drepanoide.
La sua area equivale all'area del parallelogramma ABCD in figura.
Per verificarlo può essere utile muovere il punto D fino a modificare il parallelogramma in rettangolo: si visualizzano nella drepanoide e nel rettangolo porzioni equivalenti...
...con le curve celebri non finisce qui! :-)

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venerdì 20 marzo 2009

La pelecoide

Ragazzi, titolo un po' strano eh? Che sarà mai questa pelecoide?
Béh, parlando di circonferenze, osservando alcune belle immagini del vostro testo, mi sono venute in mente delle particolari costruzioni geometriche, che si ritrovano fra le cosiddette "curve celebri", dal titolo di un saggio: Le curve celebri di Luciano Cresci. Invito alla storia della matematica attraverso le curve piane più affascinanti.
La pelecoide (è un termine che in greco - toh! :) - significa "a forma di scure") è appunto una curva con circonferenze e archi di circonferenza.
Osservatela costruita con geogebra (al clic sulla figura si apre il foglio di lavoro)


La costruzione non è difficile:
sul diametro AB di una circonferenza bisogna fissare un punto C che delimita il segmento AC, (possono fissarsi anche due punti qualsiasi C e D che suddividono il diametro AB nei segmenti AC, CD e DB).
Si costruisce poi (utilizzando Circonferenza di dato raggio) dal punto B un segmento DB, congruente a AC. Il diametro è suddiviso dunque in tre segmenti.
Si costruiscono 4 semicirconferenze di diametro rispettivamente AC, AD, CB, DB le prime due da una parte e le altre due dalla parte opposta rispetto al diametro AB.
La pelecoide è la figura delimitata dalle quattro semicirconferenze.
Il suo perimetro è uguale alla lunghezza della circonferenza di diametro AB;
la sua area dipende dalla lunghezza del segmento CD: infatti l'area della pelecoide sta all'area del cerchio come la lunghezza di CD sta alla lunghezza del diametro AB.
Si può scaricare il file pelecoide.ggb oppure cliccare sull'immagine per aprire il foglio di lavoro dove sono riportate e possono essere verificate le proprietà.

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mercoledì 18 marzo 2009

Proprietà dell'esagono regolare inscritto...

Irene dimostra che
il lato dell'esagono regolare è congruente al raggio della circonferenza circoscritta.
Utilizza Geogebra per la verifica.
Questa l'immagine


Cliccando sulla figura si apre la pagina di geogebra che contiene anche la spiegazione. Si possono seguire i passi della costruzione agendo sui pulsanti (gli assi sono nascosti) della barra di navigazione.
Si può anche scaricare il file proprietà dell'esagono.ggb
Dimostra anche che la proprietà non è valida per il pentagono

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lunedì 16 marzo 2009

Il problema dell'ubriaco

... ovvero, una passeggiata aleatoria.
Ragazzi,
QUI vi avevo detto che il Triangolo di Tartaglia riserva .... altri segreti!
Considerate questa situazione:
Un ubriaco arriva alla porta di una città a pianta quadrata, come da figura

Superata la porta, situata in uno dei vertici della cinta muraria, egli si incammina tra gli isolati, indicati dai quadratini, procedendo a caso e senza mai tornare indietro. E' come se una persona sobria si proponesse di fare una passeggiata aleatoria lungo la strada decidendo ad ogni incrocio se andare a destra o sinistra, a seconda di aver avuto testa o croce nel lancio di una moneta.
Ci poniamo le domande:

- quale probabilità ha l'ubriaco di imboccare la via giusta per tornare a casa?
- l'ubriaco ha uguale probabilità di arrivare in uno dei punti che si trovano allo stesso livello, cioè in uno degli incroci situati nella stessa riga orizzontale, per altro equidistanti dalla porta?
Questo problema è tratto da uno dei Laboratori de l'Officina matematica, ragionare con i materiali il libro che raccoglie le lezioni della più grande ricercatrice italiana di didattica della matematica, Emma Castelnuovo e documenta l'esperienza delle attività laboratoriali presso la Casa-laboratorio di Cenci.
Ed ecco l'attività:
Osserviamo i due triangoli di lettere e di numeri:

(il triangolo di numeri lo riconoscete...)
La lettera A indica la porta di accesso alla città ed è obbligata, quindi vi è un solo percorso, ma, subito dopo, vi sono due percorsi possibili, uno che porta in B e uno che porta in C: questo risulta chiaro nel triangolo di numeri.
Avanzando, da B si può andare in D o in E e da C ancora in E oppure in F.
Quindi in D e in F si arriva con un solo percorso, mentre in E portano due vie.
Al livello successivo, in G si arriva con un solo percorso, mentre in H si può giungere sia da D che da E, con tre percorsi in tutto, quello che passa per D più i due di E.
Stesso ragionamento per la lettera I ...
Nel triangolo di numeri sono indicati i percorsi che portano in ciascun punto (casi favorevoli), mentre la tabella a fianco riporta i percorsi complessivi di ogni riga (casi possibili) (la somma dei termini di ogni riga...), che raddoppiano ad ogni incrocio secondo le potenze di 2, ogni volta che la strada si biforca.
Il rapporto tra il numero dei percorsi che conducono in ciascun punto e il numero dei percorsi possibili di ogni riga ci dà la probabilità.
Così la probabilità di giungere in B = 1/2; in D = 1/4; in H = 3/8
Con questo particolare modo di procedere a caso, dove è più probabile giungere, nei punti centrali della città o in quelli periferici?
Osservate con attenzione il triangolo di numeri!
La rappresentazione grafica con istogrammi delle probabilità di raggiungere i vari punti di uno stesso livello, approssima sempre meglio una curva normale (a campana, o di Gauss) (vedi anche qui e, vi avevo detto che avremmo rincontrato Gauss... e ancora ne parleremo!) man mano che si considerano livelli con un maggior numero di percorsi possibili.
Ad esempio, al livello degli incroci M, N, O, P, Q, le probabilità corrispondenti sono rispettivamente 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16 e si ha il grafico:

Nota: il laboratorio, il cui titolo completo è: "Dal "problema dell'ubriaco" alla teoria dell'evoluzione di Darwin", riportato sul testo di Emma Castelnuovo, come il titolo stesso lascia intuire, si amplia con numerose altre esperienze da poter proporre ai ragazzi ...

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sabato 14 marzo 2009

Pi day e Buon compleanno Einstein!

Oggi si celebra il


2009
Si sa ormai: il 14 marzo perché per gli anglosassoni il 14 marzo si scrive 3.14, che sono appunto le prime cifre di π.
A lanciare l'idea del Pi Day è stato l'Exploratorium di San Francisco, il grande Museo della Scienza, che da alcuni anni, il 14 marzo celebra il numero più famoso e misterioso del mondo matematico, con una serie di giochi, musiche, filmati ed altre iniziative tutte ispirate al π.

Noi abbiamo festeggiato, ehmm… qualcuno ha scordato/confuso data e quindi ricerca di curiosità…, ricordando intanto i nostri post dedicati a π:
Pi greco

Scoperta di Pi greco e ...numeri irrazionali.

Pi greco in lettere (i nostri "Come ricordare π ?")

Alla caccia dei numeri primi in Pi (pigreco)

Per “ascoltarlo”, perché no?
Musica dai numeri!

Il numero π è presente in una quantità enorme di relazioni matematiche e formule che descrivono la realtà fisica.
Lo ritroviamo fra le
Le 10 formule matematiche ... che hanno cambiato la faccia del mondo.
In
La formula più bella di Ramanujan
Ne
La formula di Dio

Ma qualcuno ha parlato, anzi ci ha scritto un libro, di un’altra “Equazione di Dio” nella quale è contenuto Pi!
Si tratta di una delle più belle equazioni della fisica, che dobbiamo all’altro GRANDE, festeggiato oggi: Albert Einstein
Gμν = (8πG /c^4) * Tμν
L’equazione dei campi gravitazionali di Einstein, il “cuore” della relatività generale, da cui si può ricavare il comportamento del nostro universo su grande scala (stelle, galassie…) e la sua evoluzione: la geometria e il contenuto dell’universo!
Per approfondire:
Qui
Qui
e Qui

Buon Pi Day dunque, e Buon Compleanno Einstein!

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venerdì 13 marzo 2009

Triangolo di Sierpinski in Excel

Grazie al mio amico Fernando, vero e proprio mago dei grafici, abbiamo il "Sierpinski dinamico" in Excel!
e mica uno solo! :-)
Fernando ha utilizzato per le realizzazioni il modello denominato L-system (turtle graphics)
Uno è Koch.xls
l'altro, sierpinski.xls.
Possono considerarsi entrambi
varianti della curva di Koch...
Le immagini:



Grazie infinite, Fer! :-)

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martedì 10 marzo 2009

Il Triangolo di Sierpinski. Frattali

Ragazzi,
Potete scaricare il file Sierpinski.ggb oppure dopo aver cliccato sull'immagine


se la pagina si apre correttamente, osservate l'animazione.
Con il destro del mouse sullo slider a è possibile disattivare l'animazione e muovere manualmente il punto verde sullo slider stesso.
Già l'immagine qui sopra non vi ricorda forse le figure ottenute dai vostri Triangoli di Tartaglia dove avete colorato i numeri pari oppure quelli dispari? O queste immagini ottenute con Excel?
Sulle quali appunto avevo promesso di tornare...
Dunque, avete seguito bene la costruzione con GeoGebra?
Su ciascun lato del triangolo di partenza si fissa il punto medio e si uniscono i tre punti così individuati: il triangolo iniziale risulta allora diviso in quattro triangoli. Quello centrale è colorato.
Si ripete l'operazione su ciascuno dei 3 triangoli bianchi: rimangono ora 9 triangoli bianchi.
Su ognuno di essi si ripete ancora il procedimento: i triangoli bianchi sono 27.
Su ognuno dei 27 triangoli che si sono così formati, ripetiamo ancora: otteniamo 81 triangoli bianchi.
Su ognuno degli 81 triangoli, ripetiamo l'operazione: otteniamo .... quanti triangoli?
Si potrebbe procedere così all'infinito.
Osserviamo che ogni volta il numero di triangoli bianchi si ... , cosa succede al lato di ciascuno di essi?
La figura che abbiamo ottenuto è nota come triangolo di Sierpinski.
Si tratta di una sorprendente serie di triangoli "autosomiglianti": ogni dettaglio riproduce il tutto, cioè se si ingrandisce un qualsiasi pezzo del triangolo si visualizza una figura del tutto simile a quella da cui si è partiti.
Questo invece l'ho costruito con Excel (si può scaricare Sierpinski_excel.xls):


Questa figura prende il nome dal matematico polacco Waclaw Sierpinski (1882-1969) che ne ha studiato la costruzione attorno al 1915.
Il triangolo di Sierpinski appartiene alla classe degli oggetti geometrici conosciuti come frattali. E' uno dei primi frattali della storia della matematica.
Di che si tratta?
Ah, ragazzi, quello dei frattali è un affascinante mondo!
Il termine "frattale" deriva dal latino fractus, ovvero "spezzato" (come il termine "frazione", vero?), perché la dimensione di un frattale non è intera e gli oggetti frattali hanno spesso un'apparenza "frastagliata" che non viene meno anche quando li si sottopone a successivi ingrandimenti.
Si chiamano oggetti frattali gli oggetti geometrici in cui un motivo identico si ripete su scala continuamente ridotta. Questo significa che ingrandendo la figura si otterranno forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento essa rivelerà nuovi dettagli.
Una proprietà caratteristica degli oggetti frattali è l’autosomiglianza, che abbiamo visto nel triangolo di Sierpinski, il fatto cioè che la struttura di una sua parte ricompare anche nei dettagli della parte stessa, e questo per tanti ingrandimenti quanti si vuole.
Osservate quest'altra animazione:

curva di Koch

La figura si chiama curva di Koch.
La generazione della curva di Koch avviene grazie all'esecuzione ripetuta di un programma di istruzioni.
L'algoritmo della curva di Koch è molto semplice, consiste in un ripetizione del ciclo seguente. Partendo da un segmento di determinata lunghezza:
1. dividere il segmento in tre segmenti uguali;
2. cancellare il segmento centrale, sostituendolo con due segmenti identici che costituiscono i due lati di un triangolo equilatero;
3. tornare al punto 1 per ognuno degli attuali segmenti.
Partendo da un segmento, se ne ottengono quindi quattro (costituenti una linea spezzata) nel primo ciclo, 4x4=16 nel secondo ciclo e così via, generando al limite un elegantissimo frattale. Ingrandendo un qualunque dettaglio del frattale si ottiene ancora lo stesso frattale: in questo consiste l'autosomiglianza dei frattali a qualunque livello di scala.
Da questo merletto poi si può ottenere il cosiddetto Fiocco di neve di Koch


C'è anche uno stretto legame tra frattali e sezione aurea.
Su questa pagina il Merletto aureo.
Osservate:


Sempre sullo stesso sito troviamo Frattali e Natura
Osservate una comune felce:

una parte della felce è simile a tutta la felce stessa, ovvero è una copia in piccolo della foglia completa.
La parte evidenziata in rosso è la copia in piccolo dell'intera foglia. La parte evidenziata in blu a sua volta è la copia ridotta della parte in rosso. Infine la parte celeste è la copia ridotta della parte blu.
Per saperne di più sui frattali segnalo ancora:
Frattali
E per approfondire il pari o dispari di Tartaglia: Pari o Dispari?
[Aggiornamento]
Da maestra Renata: I frattali con delle belle immagini di frattali costruiti con The Gipm, vari link per conoscere i frattali, costruire frattali on line e
come utilizzare The Gimp per costruire frattali.

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sabato 7 marzo 2009

[Segnalazioni] Il vino di Luca Pacioli

Non è la prima volta che segnalo un articolo dall'interessante blog di Dario Bressanini.
Questa volta imperdibile è il post dedicato ai giochi matematici medievali.
In apertura Dario riporta il testo di un gioco tratto da un manoscritto, della fine del ‘400, di Luca Pacioli, contenente una raccolta di giochi matematici.

Ci parla più ampiamente dello stesso manoscritto, uno dei due autografi di Luca Pacioli, a cui ha lavorato personalmente nell'ambito di un progetto di trascrizione, traduzione e commento di tutti i giochi matematici descritti dal Pacioli.
Presenta quindi in maniera assolutamente coinvolgente la figura del frate Luca Pacioli

le sue opere e altri problemi dilettevoli che nel medioevo (e non solo) accompagnano l’apprendimento della matematica ...
In definitiva, ribadisco: da non perdere!
grazie Dario!:-)

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giovedì 5 marzo 2009

Quadrilateri inscritti e circoscritti (aggiornamento)

Ragazzi, ancora un'altra attività.
Che a questo punto faremo insieme, visto che la tecnologia non ci sostiene! :-(
Ma ... dite la verità: la connessione a me non "obbedisce" un po' di più??? :-) :-)

Una proprietà dei quadrilateri inscritti

Osservate l'applet su questa pagina .
Se non va, scaricate il file quadrilatero_inscritto.ggb)
Il quadrilatero ABCD è inscritto in una circonferenza.
Ferme restando le condizioni di inscrittibilità valide per qualsiasi poligono, scopriamo una particolare proprietà dei quadrilateri inscritti.
Osservate le coppie di angoli α - γ e β - δ:
Sapreste dire qual è la somma delle ampiezze degli angoli γ e δ ?
γ + δ = ?
A quanto è uguale
α + β ?
Su, dovete sfruttare la proprietà scoperta qui.
Naturalmente godono della stessa proprietà gli angoli in A e in C.
Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza i suoi angoli opposti sono ... ?

Una proprietà dei quadrilateri circoscritti

Ancora clic QUI, come prima... tornate a leggere,
oppure scaricare quadrilatero_circoscritto.ggb)
Il quadrilatero è circoscritto a una circonferenza.
Muovete con il mouse a piacere i punti O H G J I.
Sapreste spiegare perché
la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due?
Vi aiutano le coppie di segmenti p - q; r - s; t - a1; d1 - b1
e la proprietà scoperta qui.
[Aggiornamento]: riporto ancora i risultati della lezione (valgono le stesse considerazioni espresse qui)
Abbiamo svolto per intero la prima parte: una proprietà dei quadrilateri inscritti.
I ragazzi hanno saputo utilizzare informazioni e proprietà:
"α + β è un angolo giro! 360°"
"quindi γ + δ = 180°!"
Brava Maria, che ha ricordato la terminologia specifica: "i due angoli opposti sono supplementari" ! :-)
In precedenza avevano lavorato su Angolo al centro e angolo alla circonferenza:
giungendo alle corrette conclusioni.
(Ragazzi, se leggete: ricordare i compiti per casa!)
1) facile: dimostrare la proprietà per gli altri due angoli opposti, in A e in C, e
2) più concentrazione: spiegare perché la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due nel quadrilatero circoscritto.

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mercoledì 4 marzo 2009

Tangenti a una circonferenza, proprietà (aggiornamento)

Studiamo la
retta tangente a una circonferenza.
Clic sulla figura


e le proprietà delle tangenti

[Aggiornamento]: per riportare, non senza esprimere soddisfazione :-), i risultati della lezione e per testimoniare l'utilità didattica dell'utilizzo del software GeoGebra.
I ragazzi hanno intuito facilmente la congruenza dei due triangoli POB e POC.
"C'è un asse di simmetria! Il segmento PO. Quindi se piego la figura lungo PO i triangoli combaciano"
"Allora l'angolo in P viene diviso esattamente in due parti uguali"
"I due triangoli rettangoli hanno un cateto congruente (i due raggi) e l'ipotenusa in comune (il lato PO) quindi la stessa, perciò, con il Teorema di Pitagora.... anche l'altro cateto è congruente".
Inoltre:
La proprietà della tangente a una circonferenza, perpendicolare al raggio, ci ha dato l'opportunità di sconfinare (quindi un avvio ulteriore ...) nella geometria analitica:
Abbiamo verificato, tracciando la tangente (strumento Tangente) per lo stesso punto B, che le due rette sono la "stessa retta".
Visualizzando "Finestra Algebra" di GeoGebra, si osserva che esse hanno la stessa equazione (i segni dei coefficienti e del termine noto risultano opposti).
Approfondito un po' il discorso sull'equazione di una retta generica (l'equazione della retta passante per l'origine degli assi cartesiani è già nota ai ragazzi), con excel abbiamo costruito il grafico delle due rette.
Ci hanno impegnato un po' i passaggi algebrici per la trasformazione delle equazioni dalla forma: ax + by = c, così riportata da GeoGebra,
nella forma y = kx + q
Ma abbiamo avuto modo di sviluppare/consolidare "consapevolezze"...

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[Segnalazioni] Geogebra, gli slider e le animazioni

Maestra Renata, fantastica con GeoGebra (ma non solo!) ci mostra passo a passo, come creare gli slider e le animazioni, appunto con GeoGebra!

Grazie, maestra Renata! :-)

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martedì 3 marzo 2009

Angolo al centro e angolo alla circonferenza

Ragazzi,
Osservate la figura, leggete un po’ le indicazioni sul post e poi fate clic per aprire l’applet geogebra
angolo_circonf_angoloalcentro
L'angolo che ha il vertice nel centro della circonferenza viene chiamato angolo al centro.
Ogni angolo al centro insiste su un arco di circonferenza.
Nella figura l'angolo al centro CÂD insiste sull'arco CED
L'angolo che ha il vertice sulla circonferenza e i lati secanti la circonferenza, viene chiamato angolo alla circonferenza.
CBD
è un angolo alla circonferenza, insiste sull'arco CED.
Ora andate ad agire sull’applet seguendo le indicazioni sul foglio di lavoro e …alla scoperta di proprietà!
La prima considerazione: ci sono infiniti angoli alla circonferenza che insistono su un arco ma soltanto un angolo al centro che insiste sullo stesso arco.
Avete saputo trarre la conclusione al variare della lunghezza dell'arco CED e dei valori delle misure dei due angoli?
.............................
Come avrete notato nel muovere il punto B:
tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco, sono congruenti fra loro.
Ora muovete il punto D oppure quello C, fino ad ottenere l'angolo al centro di 180°.
Quanto misura l'angolo alla circonferenza corrispondente?
Muovete ancora il punto B e verificate ulteriormente le proprietà.
Ricordate il triangolo rettangolo inscritto in una circonferenza?
Per la verità inscritto in una ...circonferenza!

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