sabato 29 agosto 2009

Operazione Kaprekar: mistero!

Matematica misteriosa. Un numero misterioso: il 6174!
Perché proprio 6174? Che avrà di strano? Béh, quantomeno curioso...
Scopriamolo!
Ragazzi, seguitemi:
1. Scegliete un numero di quattro cifre che non siano tutte uguali
2. Risistemate le cifre in modo da ottenere il numero più grande possibile e scrivetelo
3. Scrivete ora con le stesse cifre il numero più piccolo possibile
4. Eseguite la sottrazione tra i due numeri ottenuti: numero maggiore - numero minore
5. Con la differenza ottenuta dovete ripetere lo stesso procedimento, dal punto 2: ottenere il numero più grande e il più piccolo possibili, eseguire la sottrazione e con la differenza ottenuta, ripetere ancora...
Proviamo insieme con un esempio, per vedere che succede!
Prendiamo il numero 1998, l'anno di nascita di voi piccoli...
Il numero più grande che è possibile ottenere è 9981, il più piccolo è 1899.
Le sottrazioni saranno le seguenti. Con ciascun risultato combino le cifre secondo la regola detta.
9981 - 1899 = 8082
8820 - 288 = 8532
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174

mmh ... ottenuto 6174
E se proviamo a continuare, l’operazione si ripete uguale all’infinito, ritornando sempre a 6174!

Vediamo ancora un esempio. Con il numero, vado proprio a caso, 3612.
Le operazioni saranno:
6321 - 1236 = 5085
8550 - 558 = 7992
9972 - 2799 = 7173
7731 - 1377 = 6354
6543 - 3456 = 3087
8730 - 378 = 8352
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174

di nuovo! 6174, ooh!
Ora scegliete voi a caso un qualsiasi numero di 4 cifre diverse tra loro [o che le cifre non siano tutte uguali (es. 4444 – 4444 = 0!) oppure siano tre uguali e l’unica diversa sia più grande o più piccola di un’unità (es. 3332 – 2333 = 999 oppure 7776– 6777 = 999!)], applicate il procedimento e arriverete sempre al numero 6174!
A volte si arriva al 6174 in pochissimi passaggi, anche solo due, e pare sia stato verificato che il numero massimo di passaggi sia sette.
Ah, il titolo del post.
La procedura vista è nota come operazione di Kaprekar.
Dal nome del matematico indiano Shri Dattathreya Ramachandra Kaprekar (1905 - 86), grande appassionato fin da piccolo, di numeri e matematica ricreativa. Escogitò la sua "operazione" nel 1947.
A questa pagina troviamo interessanti spiegazioni e approfondimenti. E' spiegato come il 6174 sia "l’unico numero che non cambia nell’operazione di Kaprekar – il numero misterioso è pertanto unico!"
Fra gli approfondimenti, la validità della regola anche per i numeri a tre cifre. In questo caso il numero unico di arrivo è il 495. Provate voi!
Io ho realizzato un foglio Excel per le prove sul 6174:


Vi invito a osservare con attenzione nell'esempio la colonna "differenza": i numeri 6264, 4176, 6174, che poi si ripete..., che proprietà hanno in comune? Sul file che andrete a scaricare fate ulteriori prove digitando nella cella in rosso numeri di 4 cifre a piacere. Tutte le volte osservate le differenze...
Poi vedremo insieme di arrivare, servendoci della scrittura polinomiale dei numeri a base 10, a una regoletta generale!
Scaricate 6174.xls

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martedì 25 agosto 2009

Smile

Da qui...
la mia amica Renata, che con Geogebra... ma come la devo chiamare... è diabolica! :-)
... guardate che sorriso mi regala!
Clic sulla seconda immagine per vedere l'animazione.



grazie Rena' :-)

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lunedì 24 agosto 2009

Moltiplicare... in quanti modi!

Ancora dedicato ai "nuovi" ma, ... noo, e chi li scorda i "vecchi"?
In questo post, un curioso metodo per eseguire una moltiplicazione anche senza ... tabelline! Andate a vedere anche il video segnalato.
Infatti, adsl evviva, ora che ci possiamo permettere qualche video (si spera anche a scuola!), seguiamo un altro paio di metodi altrettanto curiosi per moltiplicare.
Osservate qui:

Su questo metodo ci torneremo a proposito di addizioni e sottrazioni ...
Ora questo:

E infine:


Ragazzi.. poi farete delle prove per verificare se funziona sempre!
Alla base di tutto questo, la Matematica Vedica: QUI e, già segnalato, QUI

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domenica 23 agosto 2009

Happy Equations

Guardate un po'...

Step 1:

$x^2+y^2\,=\,9$

Grafico:

Step 2:

$y\,=\,- \sqrt{(4 - x²)}$
Altro grafico:

Step 3:

$(x - 1)² + (y - 3/2 )²\,≤\, \frac{ 1 }{ 2}$
$(x + 1)² + (y - 3/2 )²\,≤\, \frac{ 1 }{ 2}$
Grafico:
Da QUI
Con GeoGebra!


Ah, la matematica!:-))

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venerdì 21 agosto 2009

Gioco: calcolo mentale semplice!

Eh, il mio pensiero comincia proprio a rivolgersi ai nuovi che ... avanzano! :-)
Ai ragazzi della nuova prima dovrò ricordare di mettere nello zainetto le carte da gioco! Perché si divertano a mostrare la loro abilità nel calcolo mentale.
Giocando naturalmente...
Ancora da L'Elmo Della Mente di Ennio Peres - Sfide matematiche.
Capitolo Numerazione in base 10

La carta mancante

Modalità di esecuzione
1. Porgi un mazzo di 40 carte a uno spettatore e chiedigli di toglierne una a sua scelta, senza fartela vedere.
2. Fatti riconsegnare il mazzo e analizza velocemente il suo contenuto, un paio di volte al massimo.
3. Al termine di questa operazione, comunica con sicurezza quale carta era stata tolta dal mazzo.
Accorgimenti da seguire
Devi attribuire a ciascuna carta il valore di presa che tradizionalmente essa ha in giochi come la Scopa (asso = 1, due = 2, ... fante = 8, cavallo = 9), a eccezione del re, al quale devi assegnare il valore 0.
___Mentre sfogli per la prima volta il mazzo, devi effettuare mentalmente la somma progressiva dei valori delle carte che, di volta in volta, ti capitano sotto gli occhi, usando l’accortezza di memorizzare solo la cifra delle unità di ogni risultato parziale ottenuto. Ad esempio, eseguendo: 7+8 = 15, devi tenere a mente solo: 5.
___Al termine, otterrai un risultato compreso tra 0 e 9. Sottraendo questo numero da 10, ricaverai il valore della carta che è stata messa da parte (se il risultato delle operazioni è 10 il valore della carta mancante in questo caso è il re!)
___Quando sfogli di nuovo il mazzo, devi osservare quali sono i semi con i quali il valore individuato è presente nel mazzo e, per esclusione, ricavare quello della carta mancante.
___(Riepilogo con un esempio:
- il risultato dei tuoi calcoli a mente è 6;
- sottrai 6 da 10: 10-6 = 4
- la carta messa da parte è un 4
- mentre sfogli il mazzo la seconda volta devi controllare di avere solo tre 4; ma devi memorizzare anche di quali semi! Perché la risposta che dovrai dare sarà: hai preso il 4 di ...)
Una tale operazione serve anche a controllare l’esattezza dei calcoli compiuti in precedenza; infatti, se vedi che nel mazzo sono presenti quattro carte del valore da te determinato (e non solo tre), vuol dire che hai sbagliato a fare le somme.
Nota - L'esecuzione di questo gioco risulta tanto più sorprendente, quanto più rapidamente riesci a effettuare le somme a mente. D'altra parte, quanto più ti eserciterai con questo gioco, tanto più rapidamente sarai in grado di effettuare le somme a mente...
___P a r o l e _ s a n t e! :-)
E ora... ci sarebbe da scoprire il perché funziona.
Béh, mi godrò la discussione in classe!
Eventualmente, in seguito segnalerò anche un consiglio pratico.

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martedì 18 agosto 2009

La rotazione in Excel

Dopo la traslazione, la rotazione in Excel.
Ma questa ... farina d'altrui sacco!:)
Dal mago dei grafici (e non solo) Fernando Cinquegrani, ho trovato il lavoro pronto per noi.
Clic sulla figura per scaricare il file rotazioni2d.xls


Al link si arriva da QUI, dove già si possono visualizzare diverse applicazioni realizzate da Fernando. In fondo alla pagina cliccate su
contributi ai newsgroup (alcuni)
contributi ai newsgroup (molti altri)

per trovare, e scaricare, numerosi esempi in risposta ai più svariati quesiti posti da utilizzatori di excel, nei newsgroup appunto.
Dunque, lavoro già pronto, ma ho voluto anch'io, giusto sulla falsariga, riprodurre la rotazione di figure sul piano.
Un triangolo:

un altro quadrilatero:

Il file da scaricare rotazione.xls
grazie Fer!

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lunedì 17 agosto 2009

La traslazione in Excel

Ragazzi, ripasso o studio qui e ora
la traslazione sul foglio elettronico Excel.
questa l'immagine, clic per ingrandire


Il foglio contiene le indicazioni per modificare il triangolo di partenza, le coordinate degli estremi del vettore, quindi la sua lunghezza, e volendo si può modificare anche il verso della traslazione.
Le verifiche confrontano:
la lunghezza del vettore con la distanza tra i punti, AA', BB', CC', corrispondenti nella traslazione;
e controllano:
la direzione della traslazione mediante il calcolo della "pendenza", quindi del coefficiente angolare, di due rette, quella contenente il vettore e quella contenente il segmento AA': rette con uguale coefficiente angolare sono tra loro parallele.
Il file da scaricare Traslazione.xls

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domenica 16 agosto 2009

Blake and Fractals

______________Blake and Fractals_________
__________William Blake disse che paesaggi
__________Scorgeva infiniti
__________Di sabbia nel più piccolo grano
__________Contenuto nel cavo della mano
__________Ciascuno di noi trova esempi di ciò
__________Nell’opera di Mandelbrot:
__________I diagrammi frattali partecipano
__________Dell’essenza da Blake presentita.
__________Sempre la forma essenziale
__________Prevale prescindendo dalla scala:
__________E le particolari segnature
__________Da vicino e da lontano sono chiare.
__________Ingrandito il punto che avevi,
__________Quello stesso punto ritrovi.
__________E se ancora e ancora ingrandisci
__________Gli stessi dettagli riconosci;
__________Più fine del più fine capello
__________Ecco di Blake l’infinito,
__________Ricco di particolari a ogni livello
__________Come il mistico poeta aveva capito.

Jasper Memory,
Blake and Fractals, 1990
Vedendo, è il caso di dire, Rio Mandelbrot
dal fantasioso prof Popinga,





















mi è tornata in mente la poesia che riporto letta su La sezione aurea di Mario Livio.
"Nel 1990 il professor
Jasper Memory dell'Università di Stato in North Carolina ha pubblicato sul "Mathematics Magazine" una poesia intitolata Blake and Fractals. Ispirandosi al verso del poeta, pittore, incisore e mistico William Blake, "Vedere un mondo in un granello di sabbia", Memory ha composto questi versi"
In rete ho ritrovato la poesia in Caos e Caotino, e ne I frattali di Pollock, interessanti pagine.
Frattali, come ne abbiamo parlato noi...
E QUI, quello che ha fatto Maestra Renata, giusto oggi!

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venerdì 14 agosto 2009

Carnevale della Matematica_16

Il Carnevale della Matematica di Ferragosto, da .mau.

Carnevale della Matematica #16
Come sempre interessanti contributi ... anche per noi!
In particolare, promemoria, la Matematica nella Storia.

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martedì 11 agosto 2009

Tre giochini: operazioni e numeri

Chissà come se la cavano con le operazioni i ragazzi della V che stanno per arrivare da noi... e che ora saranno di nuovo i "piccoli"! ?
Ma i giochini che propongo ehm... potrebbero essere utili anche per i compagni più grandicelli. Direi che possono impegnarli!
1. Utilizzando i segni delle 4 operazioni fondamentali e i numeri dati, provate ad ottenere il numero 11:


2. Provate a ricostruire le operazioni date. A lettera o simbolo uguale corrispondono cifre uguali. Non dovete riutilizzare le cifre date.

3. Completate lo schema seguente (copiate o stampate) inserendo nei cerchietti i segni delle 4 operazioni in maniera da ottenere, sia in orizzontale sia in verticale, i risultati dati.

Da Matematico! G.F. Romano - Fabbri Ed.

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Simmetrie

Vediamo che effetto fanno sul blog queste immagini:









meglio il colore oppure il bianco nero?
Comunque... brava eh? :-)
Ma nooo, tutto con SymmetriSketch, segnalato da .mau.

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domenica 9 agosto 2009

Stomachion

Dal Tangram, il Tongram, e anche dal "Perigal", allo Stomachion, il passo è breve!
Lo stomachion è un puzzle di origine greca, la cui paternità è attribuita ad Archimede di Siracusa, ma probabilmente lo scienziato ne ha studiato solo le proprietà geometriche. In ogni caso il gioco è noto anche come "la scatola di Archimede".
Il puzzle è composto da14 pezzi, 11 triangoli, 2 quadrilateri e un pentagono, che possono essere disposti in vari modi a formare un quadrato, ma anche tante altre figure (una raccolta QUI) similmente a quanto avviene con i 7 pezzi del Tangram.


Il termine stomachion deriva dal greco stomachos che significherebbe irritazione! (per via di quella che si prova se il gioco impegna eccessivamente?!?)
Ma stomachos vuole dire anche cavità, stomaco e deriva a sua volta da stoma che vuol dire bocca. Mah!
Il nome esatto del gioco potrebbe essere tuttavia ostomachion: dal greco osteon: osso e mache: lotta, quindi sfida, gioco... (degli ossi) : il poeta latino Ausonio (quarto secolo d. C.), nel suo Liber XVII Cento Nuptalis parlando di una poesia con versi in metri vari, la paragona allo stomachion (…simile ut dicas ludicro quod Graeci ostomachion vocavere... Ossicula ea sunt: ad summam XIV figuras geometricas habent): ostomachion dunque, costituito da 14 pezzi di osso dalle forme geometriche.
Altro sullo stomachion e altri link a questa pagina
E ora la proposta per i ragazzi (e non!).
Sull'applet geogebra potete cimentarvi con i 14 pezzi nel passaggio dal quadrato:

al rombo:

Clic per giocare:

E qui l'animazione:

dal quadrato al rombo.

[Aggiornamento] a proposito di puzzle non posso non segnalare, ehehe... :-),
la dissezione della globular greek cross: da Maestra Renata.

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venerdì 7 agosto 2009

Il Tongram

Da qui:

http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/probegio/GAMEMATH/Tangram/Tangram.htm#6

Progetto Polymath - Tangram via kwout


Il Tongram, che forse è un po’ riduttivo definire come una variante del Tangram, è stato inventato nel 1893 da Tong Da-Nian (1873 – 1953), maestro nell’arte della pittura e della calligrafia. Il suo nome cinese è Yi Zhi Tu. Sono 15 pezzi di un quadrato che formano un puzzle straordinario, infatti con i 15 pezzi si possono comporre tutti i caratteri della scrittura cinese.[...]
_________
La scomposizione del quadrato e il carattere "tian"= cielo, nelle immagini catturate da due dei numerosi applet-Tongram, sulla pagina segnalata da F. Peiretti.
Una vasta gamma di caratteri da ricomporre con il Yi Zhi Tu!
Qui sotto ancora un dipinto di Tong Da-Nian

Ragazzi, voi che stavate per arrivare... : del Tangram ne avevamo parlato QUI.
Cominciate dal Tangram e divertitevi ora!

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mercoledì 5 agosto 2009

Teorema di Pitagora: dimostrazione di Perigal

A parlare di triangoli pitagorici ...
attività didattiche si prospettano!
La dimostrazione dell'agente di cambio Perigal.
"Il matematico Martin Gardner racconta in un suo libro che nel secolo scorso un certo Henry Perigal (1801-1898), agente di borsa e astronomo dilettante, riuscì a dare una singolare dimostrazione del teorema di Pitagora.
Perigal disegnò un triangolo rettangolo qualsiasi e costruì i relativi quadrati su ogni lato.
Quindi suddivise il quadrato costruito sul cateto maggiore in quattro parti, tracciando nel suo interno due segmenti passanti entrambi per il centro del quadrato, uno dei quali parallelo e l'altro perpendicolare all'ipotenusa.
Ritagliò quindi questo quadrato secondo i segmenti tracciati; con i quattro pezzi ottenuti e con il quadrato costruito sul cateto minore riuscì a ricoprire il quadrato costruito sull'ipotenusa.
Perigal fu così orgoglioso di questa sua "dimostrazione" del Teorema di Pitagora che se la fece stampare sui biglietti da visita." [Da R. Rinaldi Carini Matematica 2 Ed. Zanichelli]
Ragazzi, dovreste costruirla anche voi!
Qui ve la propongo con i nostri mezzi: geogebra no?
Clic sull'immagine e, al lavoro! Sul foglio di lavoro troverete tutte le indicazioni.



E qui un'animazione della dimostrazione di Perigal (grazie alle dritte della mia amica Renata!):

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lunedì 3 agosto 2009

Triangoli pitagorici ... inoltre!

E sì che ci siamo occupati dei triangoli di Pitagora [e qui] e abbiamo imparato a costruire terne pitagoriche.
Ma si sa, le curiosità in matematica non finiscono mai...
Fra i triangoli pitagorici intanto, non poteva che esserci quello "divino": il più noto, quello con le misure dei lati espresse dai numeri interi 3 - 4 - 5, conosciuto dagli antichi Egizi già nel 3000 a.C.
"Plutarco, descrivendo il Triangolo Sacro, afferma che la Base di Quattro rappresenta la Materia-Iside, l'altezza di Tre rappresenta lo Spirito-Osiride, l'Ipotenusa di Cinque rappresenta il Figlio-Oro, la manifestazione. Il perimetro di tale Triangolo vale 12, le Ore della Creazione, i Segni dello Zodiaco. [...] Se raddoppiamo il Triangolo Sacro otteniamo un perimetro uguale a 14, due volte sette, la somma dei primi cinque numeri che compongono il numero π. [clic sull'immagine per la fonte; ragazzi, continuare la lettura sulla pagina]


I numeri di base del sistema decimale, ad eccezione dell'Uno e del Due che compaiono nascosti nel cerchio inscritto nel triangolo, sono generati dalla figura. Uno è il raggio, Due è il diametro, Tre e Quattro sono i cateti, cinque l'ipotenusa, Sei l'area, Sette Otto e Nove si ottengono sommando a due a due i tre lati."
Ne "Le meraviglie dei numeri" - C. Pickover, al capitolo:
"Tutto quello che avreste voluto sapere sui triangoli ma non avete osato chiedere",
dei triangoli come questo è descritta la particolarità di avere i valori dei cateti espressi da numeri consecutivi: "il triangolo 3 - 4 -5 è il primo di queste gemme esotiche. Il seguente di questo tipo è 21 - 20 - 29. Il decimo triangolo è piuttosto grande: 27304197 - 27304196 - 38613965."
Pickover chiama questi, triangoli che pregano. Descrive il metodo per calcolare la lunghezza dei lati dei triangoli che abbiano tale proprietà.
"Cominciate con 1 e moltiplicatelo per la costante $D\, =\, ( \sqrt{ 2 } +1)^2\, =\,5.828427125$
Troncate il risultato a un valore intero e moltiplicatelo di nuovo per D.
Continuate questo processo tanto a lungo quanto volete, creando una lista di numeri interi: 1, 5, 29, ...
[questi costituiscono le ipotenuse]
Per ottenere i valori delle lunghezze dei cateti,
prendete uno di questi interi,
elevatelo al quadrato,
dividetelo per due e estraete poi la radice quadrata.
Le lunghezze dei due cateti si ottengono arrotondando il risultato per difetto e per eccesso."

Ecco fatto in un foglio di Excel, con il controllo pitagorico della terna (se si vuole, clic per scaricare e vedere le formule utilizzate):

Sempre Pickover assegna invece l'attributo "divino" ad altri triangoli pitagorici: quelli per i quali la somma dei cateti e l'ipotenusa siano quadrati.
"Nel 1643, il matematico francese Pierre de Fermat scrisse una lettera al suo collega Mersenne chiedendogli un triangolo pitagorico per il quale la somma dei cateti e dell'ipotenusa fossero quadrati. In altre parole, se i lati sono indicati con X, Y e Z, si deve avere:
X + Y = a²
Z = b²
X² + Y² = Z² = $b ^4$
E' difficile credere che i 3 numeri più piccoli che soddisfano queste condizioni siano :
X = 4.565.486.027.761
Y = 1. 061. 652. 293. 520
Z = 4. 687. 298. 610. 289
Il dottor Googol ha chiamato i triangoli di questo raro tipo "divini" perché soltanto un Dio poteva immaginare un'altra soluzione al problema. Perché? Risulta che il secondo triangolo sarebbe così grande che se i suoi numeri fossero rappresentati in decimetri, i cateti del triangolo supererebbero il diametro dell'orbita della Terra! [...]
Eppure oggi noi possiamo calcolare un tale triangolo. Siamo divenuti gli dei di Pitagora. Grazie al computer e alla matematica"

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domenica 2 agosto 2009

Il Sistema numerico come la vita umana

Rileggendo un romanzo...

___"Sai cosa c'è alla base della matematica?" dico. "Alla base della matematica ci sono i numeri. Se qualcuno mi chiedesse cosa mi rende davvero felice, io risponderei: i numeri. La neve, il ghiaccio e i numeri. E sai perché?"
___ Spacca le chele con uno schiaccianoci e ne estrae la polpa con una pinzetta curva.
___"Perché il sistema numerico è come la vita umana. Per cominciare ci sono i numeri naturali. Sono quelli interi e positivi. I numeri del bambino. Ma la coscienza umana si espande. Il bambino scopre il desiderio, e sai qual è l'espressione matematica del desiderio?"
___Versa nella zuppa la panna e alcune gocce di succo d'arancia.
___"Sono i numeri negativi. Quelli con cui si dà forma all'impressione che manchi qualcosa. Ma la coscienza si espande ancora, e cresce, e il bambino scopre gli spazi intermedi. Fra le pietre, fra le parti di muschio sulle pietre, fra le persone. E fra i numeri. Sai questo a cosa porta? Alle frazioni. I numeri interi più le frazioni danno i numeri razionali. Ma la coscienza non si ferma lì. Vuole superare la ragione. Aggiunge un'operazione assurda come la radice quadrata. E ottiene i numeri irrazionali."
___Scalda il pane nel forno e mette il pepe in un macinino.
___"È una sorta di follia. Perché i numeri irrazionali sono infiniti. Non possono essere scritti. Spingono la coscienza nell'infinito. E addizionando i numeri irrazionali ai numeri razionali si ottengono i numeri reali."
___Sono finita al centro della stanza per trovare posto. È raro avere la possibilità di chiarirsi con un'altra persona. Di norma bisogna combattere per avere la parola. Questo per me è molto importante.
___"Non finisce. Non finisce mai. Perché ora, su due piedi, espandiamo i numeri reali con quelli immaginari, radici quadrate dei numeri negativi. Sono numeri che non possiamo figurarci, numeri che la coscienza normale non può comprendere. E quando aggiungiamo i numeri immaginari ai numeri reali abbiamo i sistemi numerici complessi. Il primo sistema numerico all'interno del quale è possibile dare una spiegazione soddisfacente della formazione dei cristalli di ghiaccio. È come un grande paesaggio aperto. Gli orizzonti. Ci si avvicina a essi e loro continuano a spostarsi. È la Groenlandia, ciò di cui non posso fare a meno! È per questo che non voglio essere rinchiusa."

Il senso di Smilla per la neve - Peter Høeg

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