martedì 10 marzo 2009

Il Triangolo di Sierpinski. Frattali

Ragazzi,
Potete scaricare il file Sierpinski.ggb oppure dopo aver cliccato sull'immagine


se la pagina si apre correttamente, osservate l'animazione.
Con il destro del mouse sullo slider a è possibile disattivare l'animazione e muovere manualmente il punto verde sullo slider stesso.
Già l'immagine qui sopra non vi ricorda forse le figure ottenute dai vostri Triangoli di Tartaglia dove avete colorato i numeri pari oppure quelli dispari? O queste immagini ottenute con Excel?
Sulle quali appunto avevo promesso di tornare...
Dunque, avete seguito bene la costruzione con GeoGebra?
Su ciascun lato del triangolo di partenza si fissa il punto medio e si uniscono i tre punti così individuati: il triangolo iniziale risulta allora diviso in quattro triangoli. Quello centrale è colorato.
Si ripete l'operazione su ciascuno dei 3 triangoli bianchi: rimangono ora 9 triangoli bianchi.
Su ognuno di essi si ripete ancora il procedimento: i triangoli bianchi sono 27.
Su ognuno dei 27 triangoli che si sono così formati, ripetiamo ancora: otteniamo 81 triangoli bianchi.
Su ognuno degli 81 triangoli, ripetiamo l'operazione: otteniamo .... quanti triangoli?
Si potrebbe procedere così all'infinito.
Osserviamo che ogni volta il numero di triangoli bianchi si ... , cosa succede al lato di ciascuno di essi?
La figura che abbiamo ottenuto è nota come triangolo di Sierpinski.
Si tratta di una sorprendente serie di triangoli "autosomiglianti": ogni dettaglio riproduce il tutto, cioè se si ingrandisce un qualsiasi pezzo del triangolo si visualizza una figura del tutto simile a quella da cui si è partiti.
Questo invece l'ho costruito con Excel (si può scaricare Sierpinski_excel.xls):


Questa figura prende il nome dal matematico polacco Waclaw Sierpinski (1882-1969) che ne ha studiato la costruzione attorno al 1915.
Il triangolo di Sierpinski appartiene alla classe degli oggetti geometrici conosciuti come frattali. E' uno dei primi frattali della storia della matematica.
Di che si tratta?
Ah, ragazzi, quello dei frattali è un affascinante mondo!
Il termine "frattale" deriva dal latino fractus, ovvero "spezzato" (come il termine "frazione", vero?), perché la dimensione di un frattale non è intera e gli oggetti frattali hanno spesso un'apparenza "frastagliata" che non viene meno anche quando li si sottopone a successivi ingrandimenti.
Si chiamano oggetti frattali gli oggetti geometrici in cui un motivo identico si ripete su scala continuamente ridotta. Questo significa che ingrandendo la figura si otterranno forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento essa rivelerà nuovi dettagli.
Una proprietà caratteristica degli oggetti frattali è l’autosomiglianza, che abbiamo visto nel triangolo di Sierpinski, il fatto cioè che la struttura di una sua parte ricompare anche nei dettagli della parte stessa, e questo per tanti ingrandimenti quanti si vuole.
Osservate quest'altra animazione:

curva di Koch

La figura si chiama curva di Koch.
La generazione della curva di Koch avviene grazie all'esecuzione ripetuta di un programma di istruzioni.
L'algoritmo della curva di Koch è molto semplice, consiste in un ripetizione del ciclo seguente. Partendo da un segmento di determinata lunghezza:
1. dividere il segmento in tre segmenti uguali;
2. cancellare il segmento centrale, sostituendolo con due segmenti identici che costituiscono i due lati di un triangolo equilatero;
3. tornare al punto 1 per ognuno degli attuali segmenti.
Partendo da un segmento, se ne ottengono quindi quattro (costituenti una linea spezzata) nel primo ciclo, 4x4=16 nel secondo ciclo e così via, generando al limite un elegantissimo frattale. Ingrandendo un qualunque dettaglio del frattale si ottiene ancora lo stesso frattale: in questo consiste l'autosomiglianza dei frattali a qualunque livello di scala.
Da questo merletto poi si può ottenere il cosiddetto Fiocco di neve di Koch


C'è anche uno stretto legame tra frattali e sezione aurea.
Su questa pagina il Merletto aureo.
Osservate:


Sempre sullo stesso sito troviamo Frattali e Natura
Osservate una comune felce:

una parte della felce è simile a tutta la felce stessa, ovvero è una copia in piccolo della foglia completa.
La parte evidenziata in rosso è la copia in piccolo dell'intera foglia. La parte evidenziata in blu a sua volta è la copia ridotta della parte in rosso. Infine la parte celeste è la copia ridotta della parte blu.
Per saperne di più sui frattali segnalo ancora:
Frattali
E per approfondire il pari o dispari di Tartaglia: Pari o Dispari?
[Aggiornamento]
Da maestra Renata: I frattali con delle belle immagini di frattali costruiti con The Gipm, vari link per conoscere i frattali, costruire frattali on line e
come utilizzare The Gimp per costruire frattali.


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13 commenti:

  1. "Questo invece l'ho costruito con Excel"
    Oh, e si potrebbe avere il file? Non mi pare che ci sia.
    Grazie, Giovanna.
    r.


    p. s. - si può giocare con i frattali anche con Gimp.

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  2. Il file .xls non c'è, Renata
    perché mi ripromettevo di renderlo dinamico, ma non sono riuscita al momento, penso di chiedere aiuto...:)
    Comunque ok, carico il file "statico", lascio visualizzati i dati di origine del grafico, numerosi, per mostrare le formule utilizzate (delle trasformaz affini, omotetie e traslazioni).
    ...ah, Gimp anche questo?? quando deciderò di studiarlo??? :-)
    grazie a te!

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  3. Grazie mille, Giovanna.

    Ah, con Gimp il tutto è molto meno... matematico ;). Lascio il link nell'url sul mio nome.

    Ciao, a presto ('ri-corro' a scuola).

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  4. Anche senza andare a scomodare la matematica avanzata che i tuoi alunni, se vorranno, studieranno tra qualche anno, è interessante chiedersi: "Ma alla fine, quanto è lunga la Curva di Koch?"
    Di sicuro possiamo dire che ad ogni passo della sua costruzione la curva ha lunghezza finita: possiamo con la matita seguirne il percorso dall'inizio alla fine.
    Poi si può senza dubbio affermare che ad ogni passo la curva aumenta la sua lunghezza.
    E allora?
    E allora si deve concludere che la curva ha una lunghezza infinita! Pur essendo tutta lì, sotto i tuoi occhi, essa è infinitamente lunga.
    Non è affascinante tutto questo?

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  5. Quante sorprese con i frattali.
    In natura sono presenti per esempio nel guscio delle lumache, di terra e di mare, nelle conchigli, nedgli abeti, nelle spirali.
    Le spirali sono alla base del mondo vivente. Il nucleo cellulare è costituito da una lunga catena a spirale, il DNA, riportante l'intero codice genetico. Anche la forma di certi organismi può essere a spirale come quella dell'ammonite, vissuto 300.000.000 di anni fa.
    Archimede ne scrisse un trattato, "Sulle Spirali". anche nella natura inanimata scopriamo spirali come ad esempio la galassia a spirale.
    Ti segnalo questo filmato
    FRATTALI D' AUTUNNO - 00:47 - 20/ott/2006
    Filmato di Angela Immediato - http://www.primocircolodidattico.eboli.scuolaeservizi.it/modello%20css/esperienze%20docenti.html

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  6. Renata, grazie per il link, ora con calma mi vedo tutto....

    Pasquale,
    ...certo che sì! :-)
    magia della geometria frattale!
    la dimensione dei frattali infatti, non è intera....

    Pier Luigi,
    sì, i frattali direi, governano la natura.
    La geometria frattale si utilizza anche nello studio del suolo, la fisica del suolo, in biochimica, ecc...
    Proverò a vedere il filmato... sai la connessione lenta..
    Grazie a tutti per le integrazioni!

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  7. Affascinante davvero la geometria frattale :)

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  8. Affascinante Gio, avrei voluto darti una mano su mpioe ma, purtroppo, per queste cose "satellitari" non ho ancora preso il decoder.
    Ciao Paolo

    RispondiElimina
  9. Ciao Skip,
    ... giàà! Ah, cos'è la matematica! :-)


    Paolo,
    grazie comunque.
    ... ma non avevo dubbi sul "mitico";-)
    ciao!

    RispondiElimina
  10. Gent. Amministratore.
    Spero mi possa aiutare in questa ricerca.
    Due anni fa leggevo a mio figlio i bellissimi libri di Anna Cerasoli, dove, fino ad oggi, non ho più trovato delle descrizioni migliori di argomenti matematici, anche complessi, espresse con linguaggio comprensibile ai bambini.
    Mio figlio ora ha otto anni ed è "appassionato" di matematica tanto che di recente, ricordando quei capitoli, mi chiedeva se fosse possibile, con la legge di Fibonacci, calcolare quante foglie possano crescere in un albero in un anno.
    Io non sono del settore e mi è già stato difficile spiegare ciò che ho spiegato fino ad oggi.
    Sono alla ricerca di un libro che, con grande semplicità spieghi a mio figlio i frattali e altri concetti matematici. 
    La ringrazio anticipatamente.
    Chiara Urso

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  11. Gentile Chiara,
    ringrazio lei.
    Non mi viene in mente in questo momento un qualcosa per suo figlio di 8 anni. Mi viene in mente invece, dato che suo figlio ha questa età, di indirizzarla verso il blog di una mia bravissima collega e amica della scuola primaria.
    Lasci da lei un commento oppure scriva sul ''Libro degli ospiti''.
    E sul blog troverà tantissimi stimoli per il suo ragazzino.
    Questo il link:
    Splash Ragazzi
    Buon nuovo anno scolastico!


    RispondiElimina

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