domenica 30 novembre 2008

Giochino geometrico: equivalenza-equiscomponibilità

Ragazzi,
per la nostra matematica ricreativa...
Consideriamo un rettangolo ABCD, avente le dimensioni 15 x 10:
Su di esso fissiamo un punto E distante 3 unità dal punto D;
tracciamo il segmento $ \overline{ EB }$ :
Ora ritagliamo il rettangolo nelle sue due parti: triangolo E1CB1
e trapezio ABED- Effettuando un unico ulteriore ritaglio, siete capaci di ottenere un rettangolo avente una dimensione lunga 12 unità, equivalente al rettangolo ABCD?
Potete stampare e ritagliare, oppure costruire sul vostro quaderno le figure.

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mercoledì 26 novembre 2008

[Segnalazioni] Scomposizione di numeri quadrati

L'infaticabile nostra amica maestra Renata ha realizzato un altro interessantissimo lavoro sui numeri figurati.
A noi sarà utile anche in III, quando affronteremo il calcolo letterale....

"Ampliamo il lavoro sui numeri figurati con un esercizio di scomposizione, descritto in queste diapositive. Nella pagina di Splash Scuola trovate il lavoro realizzato con GeoGebra."

Ecco la presentazione:

grazie Renata!

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lunedì 24 novembre 2008

L'aritmetica del pari e del dispari: legge moltiplicativa

Dopo la tabella dell'addizione, abbiamo analizzato la struttura della

Legge moltiplicativa del pari e dispari

Componendo i numeri pari e i numeri dispari con l'operatore della moltiplicazione si ha:
pari * pari = pari
pari * dispari = pari
dispari * pari = pari
dispari * dispari = dispari
Anche in questo caso, meglio riassumere le operazioni sotto forma di tavola in cui i numeri pari vengono indicati con P e i numeri dispari con D:
Osserviamo che quando si moltiplica per un numero dispari il risultato ha lo stesso carattere dell'altro fattore, cioè se l'altro fattore era pari il risultato è pari, se l'altro fattore era dispari il risultato è dispari; è come se il numero dispari per cui moltiplichiamo non avesse alcuna influenza sul carattere del numero per cui viene moltiplicato.
Accade dunque proprio quello che si verifica quando si moltiplica un numero per l'unità: il numero 1 è l'elemento neutro della moltiplicazione, no? Il numero dispari si comporta perciò, nella moltiplicazione del pari e dispari, come il numero 1
E possiamo anche aggiungere che il "pari" si comporta proprio come lo zero (0) nella moltiplicazione: la fa da padrone! Lo zero è l'elemento assorbente, no?

Abbiamo dunque una conferma del fatto che l'aritmetica del pari e dispari ha le stesse proprietà dell'aritmetica dello zero e dell'uno.
La struttura della moltiplicazione del pari e dispari è uguale a quella della "moltiplicazione dello zero e dell'uno".
Ancora sostituendo ai termini "pari" e "dispari" i simboli 0 e 1:
Osservando ancora entrambe le tabelle facciamo un'altra considerazione: affinché il prodotto sia dispari (oppure 1) è necessario che entrambi i fattori siano dispari (oppure 1), negli altri casi il prodotto è pari (oppure zero).
E allora ci viene in mente la tabella del VERO o FALSO combinati con la congiunzione logica "e" o "et" latino, oppure AND, che si indica anche con il simbolo
Affinché un'affermazione sia VERA è necessario che entrambe le affermazioni che la compongono siano VERE.
Es :
il numero 5 è un numero primo (V) e il 5 è un numero dispari (V): è una frase VERA;
il numero 5 è un numero primo (V) e il 5 è un numero pari (F): è una frase FALSA;
il numero 5 è un numero pari (F) e il 5 è un numero primo (V) : è una frase FALSA;
il numero 5 è un numero composto (F) e il 5 è un numero pari (F): è una frase FALSA.
Dunque, ricordiamolo: 1 corrisponde a VERO, zero (0) corrisponde a FALSO.

E infine, anche per la moltiplicazione del pari e dispari abbiamo realizzato in Excel la tavola interattiva.
La formula è venuta abbastanza breve, giusto con la funzione logica E()!
L'immagine del nostro file:
Potete scaricare tab_Pari_Dispari.xls


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domenica 23 novembre 2008

[Contributi] I numeri perfetti

Il mio amico Paolo ci regala questa volta un articolo sui

Numeri perfetti
corredandolo di un bel file in Excel...

I numeri perfetti erano noti fin dai tempi più antichi. Venivano attribuite a tali numeri proprietà magiche e misteriose. Il matematico Frà Luca Pacioli nel XV secolo affermava:
Ancora si comme fra la gente più imperfecti e tristi che buoni e perfecti si trovano e li buoni sono pochi e rari: così fra li numeri pochi e rari sono li perfecti e molti e assai sonno li imperfecti: cioè superflui e diminuiti.
Definizione
Sono perfetti quei numeri naturali, diversi da 1, che sono uguali alla somma dei loro divisori propri (tutti divisori di un numero, escluso il numero stesso e compreso 1).
Così per esempio il numero 6, che peraltro è il più piccolo fra i numeri perfetti, è tale in quanto la somma dei suoi divisori 1+2+3 è pari al numero stesso.
Il secondo numero perfetto, 28, è uguale a 1+2+4+7+14.
Già Pitagora ad Euclide, erano affascinati dalla ricerca di questi rarissimi numeri.
I greci conoscevano altri due numeri perfetti:
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
e
8128 = 1+ 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Possiamo osservare che il numero perfetto 6 può essere scritto:
2 * 3 = 2 * (4 - 1) = 2 * (2 ² -1)
e il numero 28:
4 x 7 = 2 ² x ( 2 ³ - 1)
Evidenziando le potenze del 2 presenti in ogni numero perfetto, fu Euclide, nel 300 a. C., a dare per primo la formula dei numeri perfetti, nei suoi Elementi, Libro 9, Proposizione 36:
se n è un numero primo e,
a sua volta $2^{n}-1$ è sempre primo,
allora $2^{n-1}(2^n-1)$ è un numero perfetto.

Per effettuare la ricerca di numeri perfetti possiamo ricorrere ad Excel.
Si possono adottare due metodi, entrambi con alcuni limiti dovuti all'ampiezza di calcolo, ma comunque esatti.
Il primo metodo utilizza il teorema di Euclide, in questa forma: se $2^{n+1}-1$ è un numero primo, allora $2^{n}(2^{n+1}-1)$ è perfetto (n = numero naturale).
Abbiamo creato una cartella di Excel, vedi file da scaricare, Numeri Perfetti.xls, con due fogli, il primo di nome Perfetti1:
Il secondo metodo, utilizza invece la definizione stessa di numeri perfetti, individuando i medesimi sulla base dell'uguaglianza fra il numero e la somma dei suoi divisori.
E' sviluppato nel secondo foglio di nome Perfetti2:
Sul file, le spiegazioni dettagliate sulla struttura dei fogli di lavoro e sulle formule utilizzate.

Alcune curiosità matematiche.
• Ogni numero perfetto, tranne il 6 ed il 28, è uguale alla somma di successioni di numeri dispari al cubo.
Ad esempio:
496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³
8128 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³+ 13³ + 15³
33550336
= 1
³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³+ 13³ + 15³ + ............+ 125³+ 127³

• La somma dei reciproci di tutti i divisori di un numero perfetto, incluso in questo caso il numero stesso, è sempre uguale a 2.
Per il numero 28: 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.

Alcune curiosità nella Storia.
Lo studio dei numeri perfetti, iniziato come dicevamo da Euclide, fu poi ripreso e sviluppato nel Medioevo stimolando la curiosità di astrologhi e filosofi.
Il 6 ad esempio indusse alcune riflessioni in sant'Agostino nella sua opera La Città di Dio:
Sei è un numero perfetto di per sé, e non perché Dio ha creato il mondo in sei giorni; piuttosto è vero il contrario. Dio ha creato il mondo in sei giorni perché questo numero è perfetto, e rimarrebbe perfetto anche se l'opera dei sei giorni non fosse esistita.
Il 28 veniva usato nell'astrologia in quanto rappresentava i giorni del ciclo lunare.

Numeri Sovrabbondanti o Difettivi
In genere se si sommano i divisori propri di un numero, si ottiene un numero che è più grande o più piccolo del numero considerato. Nel primo caso il numero viene chiamato sovrabbondante, nel secondo caso scarseggiante o difettivo.
Ad esempio, 30 è un numero sovrabbondante in quanto la somma dei suoi divisori propri è maggiore di 30: 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 = 42.
Mentre 50 è un numero scarseggiante o difettivo, infatti la somma dei suoi divisori propri è minore di 50: 1 + 2 + 5 + 10 + 25 = 43.
Benché esistano infiniti numeri lievemente difettivi, cioè difettivi solo per un'unità, ad esempio 4, i cui divisori sono 1 e 2 e la cui somma è uguale a 3, non si sono ancora trovati numeri lievemente abbondanti.
Più in generale, i numeri lievemente difettivi sono uguali a: $2^n • 2^{n+1}$

A questa pagina tanto altro e altri link... sui numeri perfetti.
-
Ricordiamo anche la stretta relazione tra numeri perfetti e numeri primi di Mersenne.
Grazie Paolo!

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venerdì 21 novembre 2008

L'aritmetica del pari e del dispari: legge additiva

Anna Laura ha avuto l'idea di realizzare in Excel le tabelle del Pari e del Dispari trovate sul testo di matematica...
Abbiamo dapprima approfittato per studiare meglio la struttura della legge additiva e di quella moltiplicativa del pari e del dispari, trovando delle analogie con altre strutture.

Legge additiva Pari e Dispari
Componendo i numeri pari e i numeri dispari con l'addizione si ha:
pari + pari = pari
pari + dispari = dispari
dispari + pari = dispari
dispari + dispari = pari

E' di certo più espressivo riassumere le operazioni sotto forma di tavola in cui i numeri pari vengono indicati con P e i numeri dispari con D:
Abbiamo scoperto in questa struttura delle curiosità: le regole della somma del pari e dispari assomigliano molto a certe regole grammaticali che riguardano le proposizioni affermative e negative. Immaginiamo che "pari" corrisponda al "sì", proposizione affermativa, e che "dispari" corrisponda a "no", proposizione negativa.
Seguite questo esempio:
io voglio che tu veda quel film = sì, devi vedere il film;
io voglio che tu non veda quel film = no, non devi vederlo;
io non voglio che tu veda quel film = no, non devi vedere il film;
io non voglio che tu non veda quel film = , devi vederlo.
Ci accorgiamo che due proposizioni affermative danno affermazione, che anche due negative affermano, mentre una positiva e una negativa danno negazione.
L'esempio si può schematizzare in una tabella:
Ma abbiamo trovato ancora un'altra analogia: la struttura dell'addizione del pari e dispari è uguale a quella dell'"addizione dello zero e dell'uno"
Sostituendo ai termini "pari" e "dispari" i simboli 0 e 1, come se i "pari" si raccogliessero nello zero, e i "dispari" si raccogliessero nell'uno:
pari--->0
dispari--->1
(sappiamo d'altra parte che i numeri pari sono i numeri che divisi per 2 danno resto 0 e i numeri dispari sono i numeri che divisi per 2 danno resto 1)
La tavola dell'addizione dello zero e dell'uno è la seguente:
Attenzione! Non c'è un errore nell'ultima casella in basso: 1+1 non fa 0 nella nostra aritmetica, ma nell'aritmetica delle "classi resto [0] modulo 2", sì! (noi per il momento abbiamo stabilito soltanto che i simboli 0 e 1 stanno ad indicare, in modo breve, i termini pari e dispari).
Dunque: la struttura dell'addizione dei numeri pari e dei numeri dispari è uguale alla struttura del Sì e del No e a quella dell'addizione dello zero e dell'uno!

Ma, torniamo al lavoro in Excel!
Realizzate queste tabelle, ho proposto ai ragazzi di crearne una che fosse, come dire, interattiva. Si potesse cioè, immettere in tabella degli addendi interi a piacere e osservare il risultato: P o D
Bene! I ragazzi sono stati bravi a proporre l'impostazione della formula da utilizzare.
Ha cominciato Sara: con il SE()
Ma una sola condizione non era sufficiente....: si hanno due addendi.
Ho ricordato loro la funzione E();
quindi hanno cominciato a scrivere, ipotizzando in A2, A3, B1, C1 gli addendi:
=SE(E(A2=...
- ma come facciamo a dire "se A2 è pari?"
Serviva un'altra funzione....
Una funzione che restituisca VERO se il numero è pari, FALSO se non lo è.
Esiste! E' la funzione VAL.PARI()
Analogamente, la funzione VAL.DISPARI() restituisce VERO se il numero è dispari, FALSO se non lo è.
Abbiamo dunque ciò che serve!
Quindi si procede alla costruzione della formula.
Con numerosi e vivaci interventi, nasce questa:
=SE(E(VAL.PARI(A2);VAL.PARI(B1));"P";SE(E(VAL.DISPARI(A2);
VAL.DISPARI(B1));"P";"D"))

Ho fatto notare che la formula si doveva copiare nelle altre celle, quindi .....
Gian Mario (gimmi!) non mi fa finire: i riferimenti!
Già, bisogna utilizzare i riferimenti misti.
Infine ho suggerito che la formula poteva essere accorciata, integrandola con la funzione O(), visto che in due casi poteva aversi il risultato "P".
La formula per la tabella dell'addizione P e D è risultata:


questa la tabella:
Il file da scaricare... sarà pronto per il post successivo!
Dedicato alla moltiplicazione del Pari e Dispari.

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sabato 15 novembre 2008

I numeri rettangolari

La mia-nostra amica Maestra Renata di Splash ragazzi ieri in un commento, mi ha stimolato a creare un foglio di calcolo sui numeri rettangolari.
E ... volentierissimo! :-)
Qui sul blog, avevamo già parlato di Numeri triangolari, quadrati, ... poligonali.
I
numeri rettangolari mancavano.
Questo perché per numeri poligonali si intendono propriamente quei numeri figurati che indicano la quantità di punti con cui si può formare un determinato poligono regolare. E il rettangolo non è un poligono regolare.
Un numero figurato è un numero intero che può essere rappresentato mediante uno schema geometrico e regolare.
Già sul post citato avevamo visto che addizionando successivamente i numeri dispari, si ottengono uno dopo l'altro tutti i numeri quadrati:
1+3+5+7+... . Si sommano via via i termini della progressione e si ottengono: 1, 4, 9, 16, 25 ...: numeri quadrati. Questi numeri sono composti da fattori uguali:
es.
1 + 3 = 4
= 2 • 2
4 + 5 = 9
= 3 • 3
9 + 7 = 16 = 4 • 4
...
Addizionando successivamente i numeri pari, si ottengono invece i numeri rettangolari:
2+4+6+8+10... . Si sommano via via i termini della successione e si ottengono: 2, 6, 12, 20, 30, ... numeri rettangolari. Questi sono composti da fattori disuguali:
es.
2 + 4 = 6 = 2 • 3
6 + 6 = 12 = 3 • 4
12 + 8 = 20 = 4 • 5
...
Dunque:
ogni numero rettangolare ha la forma geometrica di un rettangolo;
ogni rettangolo ha l'altezza composta da una unità in più rispetto alla base.
Anche ai numeri rettangolari corrisponde una formula, una piccola espressione, che ne permette l’immediato calcolo.
Consideriamo un numero naturale qualsiasi, n. Troviamo un numero rettangolare con la formula: n*(n+1)

E ora il lavoro in Excel.
Come spiegato nel post sui numeri poligonali, la formula n*(n+1) si "traduce", nel linguaggio di Excel, per n = 1, con la formula:
=RIF.RIGA(A1)*(RIF.RIGA(A1)+1) che significa: 1*(1+1)
per n = 2:
=RIF.RIGA(A2)*(RIF.RIGA(A2)+1)
che significa: 2*(2+1)
e così via.
Ecco qualche immagine del foglio di calcolo.
La somma dei numeri pari in successione:
Ancora sulla tabella della moltiplicazione, fra le tante proprietà e curiosità sui numeri, si possono individuare i numeri rettangolari.
I numeri rettangolari come prodotto di fattori disuguali...
Si può scoprire una proprietà dei numeri rettangolari...
E, per la serie: la condivisione non finisce di arricchire....
Sulla falsariga del lavoro di Renata, ho aggiunto ancora un'"animazione" al file Excel.
Immagine:
Quindi, ancora aggiornato il file Numeri rettangolari.xls
A breve il lavoro di Renata su Geogebra!
Grazie, GRAZIE, Renata ...! :-)

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Attività "Griglie", sulla proporzionalità

Stamane ho cominciato a proporre a una parte della classe (attività a classe suddivisa, per gruppi), le situazioni di cui al post precedente....
La relazione dei ragazzi (spiegano i loro ragionamenti):

Irene, Alessandra e Laura:
Attività GRIGLIE
Abbiamo continuato la sequenza delle figure, aggiungendo sempre una riga e una colonna e calcolando il numero dei quadrati:
Ci siamo accorti che 120 quadrati si potevano ottenere ma 240 no.
Quindi avevamo trovato la risposta!
La prof ci ha detto che era giusto, ma che avevamo seguito un metodo un po' "empirico" (ci ha detto, parolina nuova. Dal greco empeirìa = "esperienza"), cioè avevamo calcolato sperimentalmente, con il calcolo caso per caso, che non si potevano ottenere 240 quadrati e 120 sì.
Ci ha chiesto se potevamo trovare qualche spiegazione che dimostrasse maggiore consapevolezza...
Noi abbiamo detto che anche trovando 120, non potevamo raddoppiare perché così non si rispettava il rapporto.
La prof: mmhh... (ma come quando ci si schiarisce la voce...)
Abbiamo impiegato un po' a capire che così non andava. Ma non sapevamo trovare spiegazioni.
Allora la prof ci ha chiesto: secondo voi cosa vuol dire aver veramente capito un argomento o una proprietà?
Risposte: applicare, utilizzare... consapevolezza..., riconoscere.
Ecco: riconoscere! ha detto la prof.
E cosa vuol dire riconoscere???
Alessandra: identificare.
Giusto....
Ma... non riuscivamo ancora a "partorire" niente! (lo ha detto la prof!)
Allora la prof ci ha detto che anche NON identificando o riconoscendo una proprietà, si può essere bravissimi!!!
Oh, da questo abbiamo capito che ... la proporzionalità in qualche situazione poteva esserci oppure no.
Nel caso delle griglie, le figure non ingrandiscono rispettando una proporzionalità!

L'ora ormai alla fine, ho chiesto solo di avviare il secondo quesito: Altezze.
Emanuele, dalla bella mente ma brontolone, quasi seccato, ha esclamato appena letto: "ma NON si può calcolare! Che ne so quanto è cresciuta!"
Gli ho chiesto solo di essere un po' più gentile! :-)

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mercoledì 12 novembre 2008

Le proporzioni, la proporzionalità. Applicazioni_2

Ancora qualche attività sulla proporzionalità.

2) Griglie (Jaquet, 2000)
Da una griglia all’altra, si aggiunge una riga e una colonna di quadrati. Continuando così, si troverà una griglia di 120 quadrati?
E una griglia di 240 quadrati? Spiegate il vostro ragionamento.

3) Altezze (Chastellain, Jaquet, 2001)
Ophélie era alta 83 cm a 2 anni e 1,66 m a 16 anni.
Puoi dire quanto è alta Ophélie oggi, che compie 32 anni?
E quanto era alta a 1 anno, 4 anni, 8 anni?

4) Decorazioni
Un pittore ha dipinto quattro figure diverse su un muro. Ha utilizzato dei barattoli di colore della stessa grandezza:
18 barattoli di rosso per una figura,
21 barattoli di blu per un’altra figura,
27 barattoli di giallo per un’altra figura
ancora e
alcuni barattoli di nero per la figura che resta.
Alla fine del suo lavoro, tutti i
barattoli erano vuoti.
- Indicate il colore di ogni figura.

- Quanti barattoli di colore nero ha utilizzato?

Spiegate come avete trovato la risposta.

Devo ancora proporli alla classe...

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martedì 11 novembre 2008

Le proporzioni, la proporzionalità. Applicazioni.

La risoluzione di problemi nei quali interviene la proporzionalità
è spesso soggetta a errori caratteristici, confusioni, false piste. L'applicazione cosciente delle proprietà della linearità a partire dall'intuizione, richiede più di una riflessione...
Da una ricerca in rete riporto alcune attività da proporre in classe, che possono aiutare a far emergere difficoltà ed errori caratteristici.

1) Il puzzle (Brousseau, 1981)
L'insegnante propone agli allievi, suddivisi in gruppi di 4, la situazione seguente:
"A partire dal puzzle rappresentato in figura ogni allievo di ciascun gruppo riceve uno dei quattro pezzi. Poiché ogni gruppo dovrà ottenere un ingrandimento del puzzle,
- ogni allievo di ciascun gruppo ha il compito di fare un ingrandimento del proprio pezzo in modo da poter ricostruire l'intero puzzle ingrandito,
- il lato che misura 4 cm deve misurarne 6 sul puzzle ingrandito.
Naturalmente in ogni gruppo sarà necessario accordarsi sul metodo da seguire."

Si tratta di una situazione che fa venire alla luce la concezione (additiva) erronea del tipo:
Bisogna aggiungere 2 cm a ciascun lato per fare l'ingrandimento richiesto.
Per arrivare alla realizzazione concreta, è necessario rinunciare alla concezione additiva (erronea) della situazione (Grugnetti, 1996).

Ho proposto tale situazione in III. I ragazzi descrivono l'attività, il metodo seguito e le soluzioni a cui sono giunti.
Scrive Alessandra per il gruppo A:
La prof. ci ha disposto in gruppi da quattro, nei quali ogni componente aveva un compito ben preciso. Dopo averci dato la libertà di scegliere il nostro compito, la professoressa ci ha fornito un foglio su cui c’era scritto l’esercizio.
Il mio compito era supportare nei calcoli i membri del gruppo, qualora ci fosse stato bisogno; Irene aveva il compito di coordinare le proposte ed era la portavoce al momento di relazionare agli altri i risultati; Silvia doveva fornire al gruppo gli strumenti necessari per svolgere il lavoro (ad es. riga, forbici, colla…); Daniele doveva moderare il tono di voce dei componenti.

Dovevamo riportare la figura ingrandita, sapendo che il lato del trapezio B che misurava 4 cm diventa di 6 cm.
Daniele in un primo momento ha proposto: siccome il lato di 4 cm diventa di 6 cm, allora anche gli altri bisogna farli aumentare di 2 cm. Ma avevamo intuito che in questo problema bisognava usare le proporzioni, e io gli ho fatto notare che così non si rispettava il rapporto di 4:6. Irene era d'accordo con me.
Quindi abbiamo deciso che per calcolare le nuove misure di tutti i lati andava applicata la proporzione:
4 : 6 = misura (conosciuta) figura: misura (incognita) figura ingrandita.
Es: 4 : 6 = 5 : x
Abbiamo eseguito i seguenti passaggi:
• applicato la proprietà fondamentale, la quale prevede che il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi;
• quindi diviso il prodotto dei medi per l’estremo conosciuto, e trovata l’incognita x.
Abbiamo utilizzato q
uesto procedimento per scoprire i lati incogniti delle altre figure.

La prof ci aveva dato un altro incarico, stavolta comune a tutti: alla fine dell'attività dovevamo fare l'autovalutazione e la valutazione del compito svolto dai nostri compagni.
Alla prof è piaciuto come abbiamo svolto quest'ultimo incarico. Abbiamo detto la verità, per es:
"Daniele doveva intervenire per moderare i toni del gruppo, ma eravamo noi a dover intervenire a volte su di lui!"

Ale
Laura per il gruppo B (riporto la procedura seguita dal gruppo):
Per ingrandire la figura abbiamo bisogno delle proporzioni. La prima osservazione è stata fatta da Emanuele che ha detto: 4 cm sono diventati 6 cm; bisogna sommare a 4 la sua metà. Si può applicare lo stesso ragionamento a tutti i lati da ingrandire.
Ci è sembrato che il suo ragionamento filasse e quindi abbiamo provato a scrivere una proporzione per un lato, per es. il lato da 5 cm:
[(1/2 * 5) + 5] : [(1/2 * 4) + 4] = 5 : 4
[2,5 + 5] : [2 + 4] = 5 : 4
7,5 : 6 = 5 : 4
Questi numeri sono in proporzione: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, 6*5 = 7,5*4
Quindi il lato da 5 cm diventa di 7,5 cm.
Abbiamo impostato la stessa proporzione per calcolare le misure di tutti i lati ingranditi.
Verificavamo sempre l'esattezza delle proporzioni. I rapporti erano uguali e la proprietà fondamentale era rispettata.
Per quanto riguarda la valutazione e autovalutazione... noi siamo stati "poco obiettivi"!
(ha detto la prof! :-))
Laura
Nicola per il gruppo C (metodo seguito):
Delia ha detto dapprima: forse dobbiamo aumentare di 2 cm ogni lato... Ma ho fatto notare che bisognava rispettare il rapporto 4 : 6. Allora Delia si è corretta: il quadrato ingrandito è in rapporto di 3 : 2 rispetto all'altro!
Quindi per scoprire tutti i lati richiesti bisognava applicare per ogni lato il rapporto 3 : 2.
Abbiamo applicato l'operatore 3/2 a ciascuna misura originale:
Es.:
3/2 * 5 = 7,5
il lato da 5 cm diventa di 7,5 cm,
3/2 * 7 = 10,5
il lato da 7 cm diventa 10,5 cm
e così per gli altri lati.
Noi abbiamo consegnato per primi la nostra relazione e siamo stati abbastanza giusti nel giudicarci...
Nico

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domenica 9 novembre 2008

[Matematica nella storia] Le prime teorie sulle proporzioni

La teoria delle proporzioni ha radici molto profonde....
Già i Babilonesi utilizzavano proporzioni per risolvere i problemi. È però da attribuire ai Pitagorici lo sviluppo di una vera e propria teoria delle proporzioni, viste da questi filosofi-matematici come relazioni puramente numeriche, mentre più tardi vennero interpretate come relazioni tra grandezze geometriche.
Pitagora visse nel VI secolo a.C. in Grecia, ma conobbe i matematici babilonesi, dai quali apprese, ad esempio, l'uso delle proporzioni.
I Pitagorici consideravano il «numero» come base di ogni cosa: ogni numero aveva un significato e influiva sulla vita delle persone, un po' come i segni zodiacali per gli astrologi.

La scuola pitagorica continuò la sua attività ancora per diversi secoli: la caratteristica di questa scuola fu la netta distinzione tra
• lo studio della teoria dei numeri in sé e per sé a cui i Pitagorici si dedicavano con passione, quasi con fanatismo, e
• lo studio delle tecniche di calcolo, che veniva chiamato logistica e di cui essi non si occuparono minimamente.

La «numerologia» è una tradizione che incuriosisce e interessa ancora oggi molte persone.
Per matematici che tenevano in tanta considerazione il numero, la proporzione, che offriva un'immagine così ricca di regolarità, era certamente molto intrigante.
Infatti, partendo da tre relazioni fondamentali, che Pitagora aveva appreso nel corso dei suoi viaggi in Mesopotamia, la scuola pitagorica si dedicò allo studio delle proporzioni fino a costruire un complesso armonico e coerente.

Le tre specie di proporzioni, che costituivano il fondamento delle teorie dei Pitagorici, possono essere così descritte, usando l'attuale linguaggio matematico.

1. PROPORZIONE ARITMETICA
4 numeri a, b, c, d sono in proporzione aritmetica quando
b + c = a + d
ossia quando la somma dei medi è uguale a quella degli estremi.

2. PROPORZIONE GEOMETRICA
4 numeri a, b, c, d sono in proporzione geometrica quando
a * d = b * c
ossia quando il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi.

3. PROPORZIONE ARMONICA
4 numeri a, b, c, d sono in proporzione armonica quando
1/b + 1/c = 1/a + 1/d
ossia quando i loro reciproci sono in proporzione aritmetica.

Sulla base di queste tre proporzioni, la scuola pitagorica elaborò un sistema di dieci uguaglianze (dieci è il numero perfetto secondo i pitagorici), ognuna delle quali esprime una relazione fra tre numeri, a, b e c, quando b è un medio proporzionale tra a e c (proporzione continua).

Le dieci uguaglianze sono le seguenti:

1) a-b=b-c (proporzione aritmetica)
2) a:b=b:c (proporzione geometrica)
3) a:c=(a-b):(b-c) (proporzione armonica)
4) a:c=(b-c):(a-b) (proporzione subcontraria)
5) b:c=(b-c):(a-b)
6) a:b=(b-c):(a-b)
7) a:c=(a-c):(b-c)
8) a:c=(a-c):(a-b)
9) b:c=(a-c):(b-c)
10) b:c=(a-c):(a-b)

Nella proporzione aritmetica la relazione è di tipo quantitativo perché un estremo ha sul medio "la stessa eccedenza che il medio ha rispetto all’altro estremo."
Al contrario nella proporzione geometrica la relazione fra i termini è di natura qualitativa, poiché è "una relazione di rapporti."
Diversa da entrambe la proporzione armonica, che stabilisce l’uguaglianza del rapporto degli estremi e di quello fra la differenza dei termini più grandi e la differenza dei termini più piccoli, come esprime la formula citata.
Tale proporzione è detta armonica perché su di essa si basano i rapporti fra le corde degli strumenti musicali, rapporti che danno luogo a suoni determinati.

Alle tre proporzioni, aritmetica, geometrica e armonica, corrispondono, rispettivamente, la medietà (o media) aritmetica,
semisomma degli estremi
$b = \frac{(a+c)}{ 2}$

la medietà geometrica,
radice quadrata del prodotto degli estremi:
$b= \sqrt{ ac } $

e la medietà armonica,
quoziente ottenuto dal doppio prodotto degli estremi e dalla loro somma:
$b = \frac{2ac}{(a+c)}$

Questa interpretazione trovava appunto delle incoraggianti conferme nello studio della musica; infatti considerando i due toni che definiscono l'intervallo di ottava (do grave e do acuto) come termini estremi a e c di una proporzione, risulta che, essendo essi in rapporto di 1/2, la loro media aritmetica
è b = (2+1)/2 = 3/2
mentre la loro media armonica è
b = 2(2*1)/(2+1) = 4/3.
L'intervallo di quinta è quindi la media aritmetica tra due toni distanti di un’ottava, mentre quello di quarta ne è la media armonica.
Quanto alla proporzione geometrica, essa mette in relazione le due medie, essendo
2 : 4/3 = 3/2 : 1.

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lunedì 3 novembre 2008

Costruzione di terne pitagoriche_2

Ragazzi, finisco io di preparare l'attività.
Si era rimasti al punto:
"Nella costruzione di terne pitagoriche con il metodo dei due valori r e s con r s, per ottenere terne primitive non è sufficiente partire da due numeri uno pari e uno dispari."
Alessandra aveva intuito bene, ma solo in parte.
Ho continuato a lavorare con Excel... Osservate la tabella:
Ho evidenziato (ehi c'è la formattazione condizionale, date uno sguardo al comando...) con sfondo giallo tutte le righe in cui si hanno i casi: r pari e s dispari (mi accorgo ora che manca il caso r dispari e s pari, ma ciò non influisce ai fini della nostra indagine).
Notate però la colonna verifica terne primitive: non tutte le righe a sfondo giallo contengono terne primitive!
Solo le righe dallo sfondo giallo chiaro contengono tali terne. L'ho fatto per aiutarvi!
Dunque: qual è l'altra condizione necessaria affinché due valori r e s generino terne pitagoriche primitive?
Mi sa che scoprirla è fin troppo semplice!
Potete anche scaricare il file e proseguire con altri tentativi. Basta trascinare le formule nelle celle sotto...

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domenica 2 novembre 2008

"In proporzione... Che sproporzione! ..."

Ragazzi, nella vita di tutti i giorni si fa riferimento alle proporzioni, non sempre in termini rigorosamente matematici.
Leggete con attenzione i due esempi che seguono e poi rispondete ai quesiti.

In proporzione...
Una signora che cerca casa per il suo figliolo, si lamenta: "Certo che l'affitto di un appartamento piccolo è, in proporzione, più alto dell'affitto di un appartamento grande!"
Cosa intende dire?
Spiegatelo cercando di essere precisi:
- individuate le grandezze in gioco,
- costruite i due rapporti e metteteli a confronto (
› , , =)

Che sproporzione! Ma non c'è proporzione!
Nelle frasi che seguono si fa riferimento alla proporzione, ma si parla di un solo rapporto.
- Tutto questo cibo è sproporzionato rispetto al mio appetito
- Questa sedia antica è molto bella, ma la sua altezza è sproporzionata rispetto al tavolo.
- Questo frigorifero è molto piccolo per voi che siete in tanti. Non c'è proporzione!
In realtà c'è sempre un altro rapporto a cui si pensa per un confronto, altrimenti non si parlerebbe di proporzione.
- Per ogni caso indicate di quale rapporto si tratta.
- Costruite, per ogni frase, i due "rapporti" della proporzione e metteteli a confronto
( › , , =).

Ad es. per la prima frase:
quantità di cibo : livello di appetito
quantità di cibo usuale : livello di appetito usuale

In generale quando ci si esprime mediante una frase del tipo precedente si fa riferimento a un rapporto teorico: cercate di spiegare come nasce nella nostra mente una frase di quel tipo.

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[Matematica nella storia] L'accademia di Platone e Eudosso di Cnido

Il concetto di rapporto...
Nel IV secolo a.C. ad Atene, un momento d'oro della civiltà greca, la scuola più importante era l'Accademia di Platone.
Platone (428/427-348/347 a.C.) era un «leader» degli intellettuali dell'epoca, e godeva grande fama anche da un punto di vista pedagogico, pertanto la sua Scuola era frequentata dalla migliore gioventù della città.
Sulla porta della scuola era scritto: Non entri nessuno che sia ignorante in Geometria.
La geometria era una delle cosiddette sette arti liberali: la geometria, l'aritmetica, la musica, l'astronomia, la grammatica, la retorica e la dialettica, il cui insegnamento costituiva allora, ed è stato per molti secoli, la base dell'educazione scolastica.
Platone in prima persona si occupò di matematica solo marginalmente, ma lasciò sicuramente una forte impronta culturale. A lui si deve infatti il consolidamento della netta distinzione, di scuola pitagorica, tra:
aritmetica: studio della teoria dei numeri in quanto aventi una propria essenza e dignità, studio adatto a elevare la mente su un piano di ragionamento astratto
e
logistica: studio delle regole di calcolo, studio adatto a chi si occupa di affari o di guerra, a chi doveva operare su oggetti concreti, fossero uomini o anfore d'olio, a chi doveva sommare, moltiplicare o suddividere.

Un'analoga suddivisione egli prevedeva per la geometria.
Dalla scuola di Atene uscirono pertanto importanti matematici con l'impronta platonica del privilegio assoluto della matematica teorica su quella applicativa.
Questo portò sicuramente a un ampliamento delle conoscenze e alla costruzione di importanti impianti teorici, ma lasciò campo libero ad esempio agli indiani e agli arabi per quanto riguarda l'aspetto certamente pratico ma fondamentale della scrittura dei numeri.

Il concetto di rapporto, per il legame che crea tra due numeri, era sicuramente molto interessante per i teorici della scuola di Atene, ma rimase sempre piuttosto indefinito in sé e per sé.
Maggiori attenzioni ebbe l'uguaglianza di due rapporti, cioè la proporzione.
Chi si dedicò in modo particolare a questi studi e ne ricavò le osservazioni più durevoli fu Eudosso di Cnido (408 - 355 a.C.), che per un certo periodo fu allievo di Platone in persona.

Prima degli studi di Eudosso per i matematici greci era difficile accettare l'esistenza di un rapporto che non si presentasse come il rapporto tra un numero intero e un altro numero intero. In questo modo, ad esempio, non era possibile considerare il rapporto tra 1 e √2 (la lunghezza del lato del quadrato, considerata come unità, e la sua diagonale).
Eudosso diede invece una rivoluzionaria definizione di rapporto perché permetteva di prendere in considerazione qualunque tipo di numero.
Si dice che due grandezze sono in rapporto tra loro quando si può trovare un multiplo dell'una che superi l'altra. Questa affermazione è generalmente nota come «Assioma di Archimede», ma è lo stesso Archimede che ne attribuisce la paternità a Eudosso.

Osservate che questa definizione elimina molte complicazioni dovute alla presenza dello 0, in quanto lo esclude come numero che possa far parte di un rapporto. Infatti nessun multiplo dello 0 può essere maggiore di un altro qualunque numero diverso da 0.

Esercizi per i ragazzi:
1) Avendo letto il testo precedente, avrete letto la differenza fra aritmetica e logistica.
Esaminate i seguenti casi e indicate per ogni situazione se ci si occupa di aritmetica o di logistica:
- il calcolo di quanto spenderò oggi per la spesa;
- lo studio delle proprietà delle operazioni;
- l'applicazione della proprietà invariantiva della divisione per semplificare i calcoli;
- il calcolo dello sconto che mi è stato fatto quando ho acquistato la bicicletta;
- lo studio delle operazioni interne agli insiemi N, Q, R.

2) Dopo aver riletto la definizione di rapporto data da Eudosso, applicatela alle seguenti coppie ordinate di numeri:
(7; 30) (12; 50) (36; 9) (42; 14)

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